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拒绝域

假设检验的基础原理，是构造“拒绝域”。

来看这样一个问题：

\[ f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|}\exp\left( -\frac{(\mathbf{x - \mu})^\text{T}\Sigma^{-1}(\mathbf{x - \mu})}{2} \right) \]

前置：两个分布与泊松过程

叠加态和混合态

“叠加态”是一个广为流传的名字。这主要是由于其反常识的特性。这里的“叠加”是相对于基态而言的，它描述的是一种线性代数上的事实：任何一个量子态都可以表示为多个基态的线性组合。比如 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) 就是一个叠加态。之所以这个名字给人深刻印象，是因为在 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 方向上测量时，结果是随机的。但这并不是说量子态本身是随机的。

测量

相比经典物理的测量，量子力学中的测量展示出如下特点：

• 测量的结果是不确定的。这并不是说对同一个物体进行多次测量时得到的结果会不同，而是说对于处在同一状态下的两个不同的粒子，它们的测量结果可能完全不同。
• 测量会改变系统的状态。如果我们测量了一个量子态，实际上就是在破坏它。这种破坏的程度取决于测量的方法，有的测量具有可重复性，你可以认为量子“坍缩”到测量结果上，并且呆在那个状态上，比如测量电子的自旋；有的测量则会破坏量子态，比如用感光屏记录光子的位置，这种测量会破坏光子，当然不能再测到同一个位置。

我们要时刻把上面两点记在心里。准备好了吗？开始迎接反常识的量子旅程吧！

线性代数一个极其美妙的点在于，它自然地成为了量子力学中每个部分的基石。这篇文章我将向各位展示，教材上几乎每个不知所谓的定理，是如何自然融入到量子力学之中。

本篇主要对应《工科数学分析》中关于线性微分方程组内容的证明和解释。《工科数学分析》只讲了计算的办法，但是证明却都是略，造成了大量没头没脑的公式。

这篇文章采用的证明思路可能给人缝合怪的感觉，我所希望突出的，是尽可能简洁、直接地体现“原空间分解成一些零空间（特征子空间）”的想法。我尽可能避免有循环论证，但如果还是不严谨，恕我能力不足。