大二生的梦想

Sophomore's dream

所谓 Sophomore's dream，是指如下恒等式：

\[ \int_0^1 x^{-x} \mathrm dx = \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \]

翻译到中文叫做大二生的梦想。与一个错误“大一生的梦想”（freshman's dream）相对，这是一个正确的恒等式。

似乎无法用任何已知常数表示这个式子的值。

证明

\[ \begin{aligned} x^{-x} &= \exp(-x \ln x) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^n (\ln x)^n}{n!}\\ \int_0^1 x^x \mathrm dx &= \int_0^1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^n (\ln x)^n}{n!}\mathrm dx \end{aligned} \]

由于 \(\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}\) 在 \((0, 1)\) 上一致连续，我们交换积分号和求和号。

\[ \begin{aligned} \int_0^1 x^x \mathrm dx &= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1 x^n (\ln x)^n\mathrm dx \\ \end{aligned} \]

做换元：\(x = \exp(-\frac{u}{n+1})\)，\(\mathrm dx = -\frac{1}{n+1}\exp(-\frac{u}{n+1})\mathrm du\)：

\[ \begin{aligned} \int_0^1 x^n (\ln x)^n \mathrm dx &= (-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int_{0}^{+\infty} \mathrm e^{-u} u^n\mathrm du\\ &= (-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)} \Gamma(n + 1) \\ &= (-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)} n! \end{aligned} \]

最终结果如下：

\[ \begin{aligned} \int_0^1 x^x \mathrm dx &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)^{-(n+1)}\\ &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \end{aligned} \]