微积分基本定理
微积分基本定理
从物理出发
我们知道，\(s(t)=\displaystyle \int_0^t v(x) \mathrm dx\)，这是不是说，我们可以通过 \(s(t_2)-s(t_1)\) 来计算 \(\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} v(x)\mathrm dx\) ？
是这样的。对于可积函数 \(f(x)\)，我们将 \(F(x) = \displaystyle \int_a^x f(u) \mathrm du\) 记作 \(f(x)\) 的原函数（\(a\) 是定义域内的任意实数）。则有如下公式：
\[ \int_{x_1}^{x_2} f(x) \mathrm dx = F(x_2) - F(x_1) = \left. F(x) \right|_{x_1}^{x_2} \]
原函数和被积函数有什么关系呢？
物理上来说，\(s' = v\)。是否也有 \(F'(x) = f(x)\)？
尝试证明：
\[ \begin{aligned} F'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_x^{x + \Delta x}f(u) \mathrm du \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \lim_{\lambda \to 0}\sum f(\xi_i)(u_{i+1} - u_i) \end{aligned} \]
我们注意到 \(\lambda \le \Delta x\) ，所以第二个极限是自然成立的，无需特殊选择。这也就是说，即使我们只取一个分点，积分的极限依然成立。
所以，只取一个分点，且 \(\xi_0 = x\)，得到：
\[ \begin{aligned} F'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} f(x) \Delta x \\ &= f(x) \end{aligned} \]
所以，原函数的导数就是被积函数。
也就是说：
\[ \mathrm d \left(\int_a^x f(u) \mathrm du\right) = f(x) \mathrm dx \]
这清晰地蕴含了：积分是导数的逆运算。上式也是我最喜欢的一种微积分基本定理的形式。
一个推论
如果积分的上下限都在变，且不是简单的 \(x\)，应该怎么样呢？
\[ \begin{aligned} \mathrm d \left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(u) \mathrm du\right) &= \mathrm d \left(\int_{a}^{\varphi(x)}f(u) \mathrm du\right)-\mathrm d\left(\int_{a}^{\psi(x)}f(u) \mathrm du\right)\\ &= f(\varphi(x))\mathrm d\varphi(x) - f(\psi(x))\mathrm d \psi(x)\\ &= [f(\varphi(x))\varphi'(x) - f(\psi(x))\psi'(x)]\mathrm dx \end{aligned} \]
原函数
我们重新定义原函数：\(f(x)\) 的原函数是满足 \(F'(x) = f(x)\) 的函数。
不难发现，如果 \(F(x)\) 是原函数，则 \(F(x) + C\) 也是一个原函数。还有别的形式的原函数吗？
微积分第二定理声称，\(F(x) + C\) 包含了所有原函数。假设 \(F(x),G(x)\) 都是原函数，则：
\[ [F(x) - G(x)]' = f'(x) - f'(x) = 0 \]
由拉格朗日中值定理，得到 \(F(x) - G(x) \equiv C\)。所以任意原函数都是 \(F(x) + C\) 的形式。
另外，我们已经说明 \(\displaystyle \int_a^x f(u) \mathrm du\) 是原函数，所以任意原函数都可以被写成 \(\displaystyle C + \int_a^x f(u) \mathrm du\) 的形式。
注意力不错的人会发现，积分下限没有发挥任何作用，因此 \(\displaystyle \int_b^x f(u) \mathrm du\) 也是一个原函数。显然，此时的 \(C = \displaystyle \int_b^a f(u) \mathrm du\) 。
但是，这个形式不一定包含了所有原函数，因为被积函数的积分结果不一定取到所有实数。
不连续但可积
注意到上面的证明中，我们使用了：\(\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum f(\xi) \Delta u = f(x)\Delta x\)。由于 \(\xi\) 是任意选取的，所以这一结论实际包含了 \(f(x)\) 在 \(x\) 处连续。这对于可积函数是不一定成立的。
所以能够自然使用微积分基本定理的函数是连续函数。那那些有可数个一类间断点的函数怎么办？
实践中的方法是，由于间断点处的值不影响积分，可以把被积区间拆成若干个连续区间分别积分。
接下来我们考察微积分基本定理究竟哪一部分失效了。
首先 \(\displaystyle \int_a^x f(u) \mathrm du\) 肯定是存在的。
但是这个函数不一定可导。不过这个函数一定是连续的，而且这个函数做差结果就是积分值。
由于存在第一类间断点，所以不存在导数处处等于被积函数的原函数。
那么退而求其次，在可导处导数等于 \(f(x)\) 的所有“原函数”呢？
对于这样的一个 \(F(x)\)，有下面两条论断：
- \(F(x)\) 不一定被表达成 \(C+\displaystyle \int_a^x f(u) \mathrm du\)。
- \(F(b) - F(a)\) 不一定等于 \(\displaystyle\int_a^bf(x) \mathrm dx\)。
因为此时的 \(F(x)\) 可被看作一个分段函数，在每一段上都是 \(C_i + \displaystyle \int_a^x f(u) \mathrm du\) 的形式。但是，不同段的 \(C_i\) 不一定相等，此时直接做差就会产生常数的差距。
如果是在同一段内做差，或者两段的 \(C\) 相等，则仍然可以做差求出积分值。