数学分析2-7

函数性态的研究

单调性

单调的充要条件:\(f' \ge 0\)\(f' \le 0\)。 严格单调的充要条件:\(f' > 0\)\(f' < 0\)

证明考虑拉格朗日中值定理。取两点证明大小关系。

极值点

有几个充分条件:

  • 一阶导为 0,左右一阶导异号,左正则极大值,左负则极小值。
  • 一阶导为 0,二阶导不为 0,小于零极大值,大于零极小值。
  • 首个不为零的导数阶数为偶数,小于零极大值,大于零极小值。

证明使用泰勒展开。

注意极值点还有可能在不可导的位置取得。

凹凸性

  • 凸(下凸):\(\forall [x_1, x_2] \subset [a, b]\) 满足 \(\forall \lambda \in (0,1), f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) < \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)\)。则 \(f\)\([a, b]\) 上是凸的。
  • 凹(上凸):\(\forall [x_1, x_2] \subset [a, b]\) 满足 \(\forall \lambda \in (0,1), f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) < \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)\)。则 \(f\)\([a, b]\) 上是凹的。

凹凸性的延伸结论是 Jensen 不等式。以下凸为例,\(f \left(\mathbb E[x]\right) < \mathbb E\left[f(x)\right]\)

充分条件:区间内二阶导恒大于零为下凸,恒小于零为上凸。

拐点

凹凸的分界点是曲线的拐点。

显然一个必要条件是 \(f''(x)=0\)。(可导的前提下)

注意拐点可能在二阶不可导处取得。

注意到凹凸性类似于导数的单调性;拐点类似于导数的极值点。

所以立即得到三条充分条件:

  • 二阶导为 0,左右二阶导异号。
  • 二阶导为 0,三阶导不为 0。
  • (二阶以上)首个不为零的导数阶数为奇数。