数学分析2-6

泰勒公式

如果我们知道 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的信息，如何估算 \(U(x_0)\) 内 \(f(x)\) 的值？

不妨设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有任意阶导数。

\[ \begin{aligned} && &\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)\\ &&f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + (x - x_0) \cdot \alpha(x - x_0) \\ && &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0) \end{aligned} \]

记 \(r_2(x) = f(x) - [f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)]\)，则 \(r_2(x) = o(x - x_0)\)。则可以用同样的方法估计 \(r_2(x)\)：

\[ \begin{aligned} && &\lim_{x\to x_0} \frac{r_2(x) - r_2(x_0)}{(x - x_0)^2} = \frac{f''(x_0)}{2}\\ &&r_2(x) &= \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + (x - x_0)^2 \cdot \alpha\left((x - x_0)^2\right) \\ && &= \frac{f''(x)}{2}(x - x_0)^2 + o\left((x - x_0)^2\right) \end{aligned} \]

可以递归地得到余项 \(r_n(x)\)，不难得到通项公式：

\[ r_n = \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x - x_0)^n + o\left((x - x_0)^n\right) \]

根据上述分析，如果 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有 \(n+1\) 阶导数，则 \(f(x)\) 在 \(x\) 的邻域内可以写成如下形式：

\[ \begin{aligned} f(x) = \sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x - x_0)^i + o\left((x-x_0)^n\right) \end{aligned} \]

这被称为带皮亚诺余项的泰勒公式。为了方便表示，我们记多项式 \(P_n(x)\) 为展开到 \(n\) 阶的泰勒公式：

\[ P_n(x) = \sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x - x_0)^i \]

如何进一步估计 \(o\left((x-x_0)^n\right)\)？

拉格朗日余项

对于每一个 \(x\)，都有在 \(x\) 与 \(x_0\) 之间的 \(\xi\) 使得：

\[ \begin{aligned} f(x) = \sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x - x_0)^i + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \end{aligned} \]

记 \(R_n(x) = f(x) - P_n(x)\)。即需证：

\[ \begin{aligned} R_n(x) &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}\\ \frac{R_n(x) - R(x_0)}{(x - x_0)^{n+1} - (x_0 - x_0)^{n+1}}&=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \end{aligned} \]

对左边反复运用柯西中值定理，立即得到右边。