数学分析2-5
洛必达法则
\(\frac{0}{0}\)
若函数 \(f(x),g(x)\) 满足：
- \(\lim_{x\to x_0} f(x) = g(x) = 0\)。
- \(f(x),g(x)\) 在单侧去心邻域内可导，且 \(g'(x) \ne 0\)。
- \(\frac{f'(x)}{g'(x)} = a\)，\(a\) 是有界实数或无穷大。
那么，\(\frac{f(x)}{g(x)}\) 的单侧极限就是 \(a\)。
以右侧极限为例，考虑柯西中值定理：
\[ \exists \xi \in (x_0, x), s.t. \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \]
由于 \(x_0 < \xi < x\)，\(\lim x = x_0\)，所以 \(\lim \xi = x_0\)。又因为可导必连续，则 \(\frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。
\(\frac{\infty}{\infty}\)
若函数 \(f(x),g(x)\) 满足：
- \(\lim_{x\to x_0} f(x) = g(x) = \infty\)。
- \(f(x),g(x)\) 在单侧去心邻域内可导，且 \(g'(x) \ne 0\)。
- \(\frac{f'(x)}{g'(x)} = a\)，\(a\) 是有界实数或无穷大。
那么，\(\frac{f(x)}{g(x)}\) 的单侧极限就是 \(a\)。
以右侧极限为例，考虑 \(\frac{0}{0}\) 型的洛必达法则：
\[ \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \frac{\frac{1}{g(x_0)}}{\frac{1}{f(x_0)}} = \frac{\frac{1}{g^2(x_0)}g'(x_0)}{\frac{1}{f^2(x_0)}f'(x_0)} \]
则 \(\left(\frac{f(x_0)}{g(x_0)}\right)^{-1} = \frac{g'(x_0)}{f'(x_0)}\)，所以 \(\frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\)。
其他不定式
- \(0 \cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}} = \frac{\infty}{\frac{1}{0}}\)。
- \(\infty - \infty = \frac{0-0}{0 \cdot 0}\)。
- \(1^\infty = \exp(\infty \ln 1) = \exp(\infty \cdot 0)\)。
- \(0^0 = \exp(0 \ln 0) = \exp(0 \cdot \infty)\)。
- \(\infty^0 = \exp(0 \ln \infty) = \exp(0 \cdot \infty)\)。