数学分析2-4

中值定理

极值

若 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x\in U_\delta(x_0)\) 时，\(f(x) \le f(x_0)\)，称 \(f\) 在 \(x_0\) 取得极大值，\(x=x_0\) 称为极大值点。

极小值同理。

费马引理

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极值，并且 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f'(x_0) = 0\)。

以极大值为例。由于 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取极大值，则 \(f'_+(x_0) \le 0\)，\(f'_-(x_0) \ge 0\)。又因为导数存在，所以 \(f'(x_0) = 0\)。

注意此结论的逆命题不成立。

罗尔定理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，且 \(f(a) = f(b)\)，则必然存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f'(\xi) = 0\)。

证明：由于 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续。所以 \(f(x)\) 有上界 \(M\) 与下界 \(m\)。

若 \(M=m\)，则 \(f(x) \equiv M\)，则 \(f'(x) \equiv 0\)。

否则因为 \(f(a)=f(b)\)，则 \(M\) 与 \(m\) 不可能同时在端点取到，说明 \((a,b)\) 内部必有极值点。根据费马引理，\(\exists \xi \in (a, b)\)，使得 \(f'(\xi) = 0\)。

拉格朗日定理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，则必然存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\)。

证明：考虑辅助函数 \(g(x) = f(x) - (x - a)\frac{f(b) - f(a)}{b-a}\)。则 \(g(a) = g(b) = f(a)\)，且 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，根据费马引理，存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(g'(\xi) = 0\)。

由于 \(g'(\xi) = f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\)，则 \(f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\)。

一个常用的推论如下：\(f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta x f'(\xi)\)。

e.g.

证明：\(x>0\) 时，

\[ \frac{x}{1+x} < \ln(1 + x) < x \]

考虑使用拉格朗日中值定理：

\[ \exists \xi \in (0, x),\ln(1 + x) = 0 + x\frac{1}{1 + \xi} \]

因为 \(\frac{1}{1 + x} < \frac{1}{1 + \xi} < 1\)，所以 \(\frac{x}{1+x} < \ln(1 + x) < x\)。

柯西中值定理

若 \(f(x), g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，并且 \(g'(x) \ne 0\)。则 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使得 \(\frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。

证明：注意到待证式子等价于 \([f(a) - f(b)]g'(\xi) - [g(a) - g(b)]f'(\xi) = 0\)，不难想到使用罗尔定理。

构造函数 \(h(x) = [f(a) - f(b)]g(x) - [g(a) - g(b)]f(x)\)，发现 \(h(a) = f(a)g(b) - f(b)g(a) = h(b)\)。

则可使用罗尔定理得到 \(\exists \xi \in (a,b)\) 使得 \(h'(\xi) = 0\)。也即 \([f(a) - f(b)]g'(\xi) - [g(a) - g(b)]f'(\xi) = 0\)，证毕。

几何意义

考虑参数方程 \(\left\{\begin{aligned}x = \varphi(t)\\y = \psi(t) \end{aligned}\right.\)，若要求 \(t=a\) 与 \(t=b\) 时的 \(y-x\) 图像的弦的斜率，则可知该斜率等于 \(\frac{\psi'(\xi)}{\varphi'(\xi)}\)。