数学分析2-3

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微分

对于函数 \(y = f(x)\)，当 \(x\) 在 \(x0\) 处变化 \(\Delta x\) 时，记 \(y\) 的变化量为 \(\Delta y\)。如果 \(\Delta y = v \Delta x + o(\Delta x)\)，则 \(v \Delta x\) 在 \(\Delta x \to 0\) 时的主要部分，称这一部分为函数增量的主要部分。我们用 \(\mathrm dy\) 表示这一部分，即 \(\mathrm dy = v \Delta x\)。

有以下几点性质：

  • \(x_0\) 不变时 \(v\) 是一个常数，而不是随 \(\Delta x\) 变化的量。所以 \(\mathrm dy\) 与 \(\Delta x\) 成线性关系。
  • \(\Delta y - \mathrm dy = o(\Delta x)\)。
  • \(v\ne 0\) 时，\(\Delta y \sim \mathrm dy\)。

下面解决两个问题：

  1. 什么时候函数可微？
  2. 可微时 \(v\) 的意义是什么？

微分与导数的关系

函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微的充要条件时 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导。且 \(\mathrm df(x) = f'(x)\Delta x\)。

必要性

若函数可微，则 \(\Delta y = v \Delta x + o(\Delta x)\)，所以 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = v\)。

充分性

若函数可导，则 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \alpha(\Delta x)\)，则 \(\Delta y = f'(x)\Delta x + o(\Delta x)\)。

e.g.

函数 \(y=x\) 的微分为 \(\mathrm dy = \Delta x\)。

所以当 \(x\) 为自变量时，我们将 \(\Delta x\) 记作 \(\mathrm dx\)。则 \(\mathrm dy = f'(x) \mathrm dx\)。这也就解释了为什么 \(f'(x)\) 被记作 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)。有时，导数也被称作“微商”，意为“微分的商”。