数学分析2-2

高阶导数

对于函数 $f(x)$，我们可以得到它的导函数 $f^{\prime }(x)$。这也是一个函数，如果 $f^{\prime }(x)$ 可导，我们就可以得到 $f^{\prime }(x)$ 的导函数，记作 $f^{″}(x)$。我们称这个函数为 $f(x)$ 的二阶导数。

一般地，将 $f(x)$ 反复求导 $n$ 次，如果每次导函数都存在，那么 $n$ 次求导得到的函数记作 $f^{(n)}(x)$，称为 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。$f^{\prime }(x)$ 称作一阶导数，而 $f(x)$ 记作 0 阶导数。

常见函数的任意阶导数

• $(\frac{1}{x}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!}{x^{n+1}}$。
• $(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n+1}\frac{(n-1)!}{x^n}$。
• $(uv{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n{u}^{(i)}{v}^{(n-i)}$。

求导技巧

隐函数求导

$F(x,y)=0$ 实际上指定了 $y$ 与 $x$ 的函数关系。但是求导时，我们不用知道 $y(x)$ 的显式表达，只需要知道 $F(x,y)$ 即可。

考虑 $\frac{\mathrm{d}F(x,y(x))}{\mathrm{d}x}=0$。如果 $\mathrm{d}F(x,y)$ 中包含了 $\mathrm{d}y$，则可以反解出 $y$ 关于 $x$ 的导数。

$\frac{\partial y}{\partial x}=-{\displaystyle \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}}$。

对数求导法

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}(\ln |y|)}\frac{\mathrm{d}(\ln |y|)}{\mathrm{d}x}$。

注意 $y>0$ 时，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}(\ln |y|)}=y$；$y<0$ 时，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}(\ln |y|)}=-(-y)=y$。

参数方程求导

对于参数方程 $\{\begin{array}{r}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$，要求 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$，有：${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}={\psi }^{\prime }(t){\displaystyle \frac{1}{{\phi }^{\prime }(t)}}={\displaystyle \frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$。

相关变换率

对于 $\{\begin{array}{rl}& x=\phi (t)\\ & F(x,y)=0\end{array}$，如何求出 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}$？

考虑 $F(x,y)$ 两边对 $t$ 求导，会得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 关于 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 的表达式。这样就可以用 ${\phi }^{\prime }(t)$ 反解出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$。