数学分析2-2

高阶导数

对于函数 f(x),我们可以得到它的导函数 f(x)。这也是一个函数,如果 f(x) 可导,我们就可以得到 f(x) 的导函数,记作 f(x)。我们称这个函数为 f(x) 的二阶导数。

一般地,将 f(x) 反复求导 n 次,如果每次导函数都存在,那么 n 次求导得到的函数记作 f(n)(x),称为 f(x)n 阶导数。f(x) 称作一阶导数,而 f(x) 记作 0 阶导数。

常见函数的任意阶导数

  • (1x)(n)=(1)nn!xn+1
  • (lnx)(n)=(1)n+1(n1)!xn
  • (uv)(n)=i=0nu(i)v(ni)

求导技巧

隐函数求导

F(x,y)=0 实际上指定了 yx 的函数关系。但是求导时,我们不用知道 y(x) 的显式表达,只需要知道 F(x,y) 即可。

考虑 dF(x,y(x))dx=0。如果 dF(x,y) 中包含了 dy,则可以反解出 y 关于 x 的导数。

yx=FxFy

对数求导法

dydx=dyd(ln|y|)d(ln|y|)dx

注意 y>0 时,dyd(ln|y|)=yy<0 时,dyd(ln|y|)=(y)=y

参数方程求导

对于参数方程 {x=φ(t)y=ψ(t),要求 dydx,有:dydx=dydtdtdx=ψ(t)1φ(t)=ψ(t)φ(t)

相关变换率

对于 {x=φ(t)F(x,y)=0,如何求出 dydt

考虑 F(x,y) 两边对 t 求导,会得到 dydt 关于 dxdt 的表达式。这样就可以用 φ(t) 反解出 dydt