数学分析2-2

发表于 2024-10-15 分类于数学阅读次数：

高阶导数

对于函数 \(f(x)\)，我们可以得到它的导函数 \(f'(x)\)。这也是一个函数，如果 \(f'(x)\) 可导，我们就可以得到 \(f'(x)\) 的导函数，记作 \(f''(x)\)。我们称这个函数为 \(f(x)\) 的二阶导数。

一般地，将 \(f(x)\) 反复求导 \(n\) 次，如果每次导函数都存在，那么 \(n\) 次求导得到的函数记作 \(f^{(n)}(x)\)，称为 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数。\(f'(x)\) 称作一阶导数，而 \(f(x)\) 记作 0 阶导数。

常见函数的任意阶导数

\((\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{x^{n+1}}\)。
\((\ln x)^{(n)} = (-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{x^n}\)。
\((uv)^{(n)} = \sum_{i=0}^n u^{(i)}v^{(n-i)}\)。

求导技巧

隐函数求导

\(F(x,y)=0\) 实际上指定了 \(y\) 与 \(x\) 的函数关系。但是求导时，我们不用知道 \(y(x)\) 的显式表达，只需要知道 \(F(x,y)\) 即可。

考虑 \(\frac{\mathrm dF(x, y(x))}{\mathrm dx} = 0\)。如果 \(\mathrm dF(x, y)\) 中包含了 \(\mathrm dy\)，则可以反解出 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。

\(\frac{\partial y}{\partial x} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\)。

对数求导法

\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm d(\ln |y|)}\frac{\mathrm d(\ln |y|)}{\mathrm dx}\)。

注意 \(y>0\) 时，\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d(\ln |y|)} = y\)；\(y < 0\) 时，\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d(\ln |y|)} = -(-y) = y\)。

参数方程求导

对于参数方程 \(\left\{\begin{aligned}x = \varphi(t)\\y = \psi(t) \end{aligned}\right.\)，要求 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)，有：\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm dx} = \psi'(t) \dfrac{1}{\varphi'(t)}= \dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)。