数学分析2-1
导数
定义
设 \(y = f(x)\)，\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)。
若 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 存在，则称 \(y = f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处可导，将 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 记作 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)。
改变 \(x_0\) 的值，记 \(y' = f'(x) = \left.\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x_0=x}\) 为 \(y=f(x)\) 的导函数。
单侧导数
由于导数是一个极限，自然可以有左极限和右极限。我们将左极限 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 叫作 \(x_0\) 处的左导数，记作 \(f'_-(x_0)\)；同样地，将右极限 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 叫作 \(x_0\) 处的右导数，记作 \(f'_+(x_0)\)。
由极限存在的充要条件立即得到， \(f'(x)\) 存在等价于 \(f'_+(x),f'_-(x)\) 存在且相等。
e.g.
对于 \(f(x) = |x|\)，当 \(x=0\) 时，\(f'_+(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta x - 0}{\Delta x} = 1\)，而 \(f'_-(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{- \Delta x + 0}{\Delta x} = -1\)。
因为 \(f'_+(x) \ne f'_-(x)\)，所以 \(x=0\) 时 \(f'(x)\) 不存在。
但要注意 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续。所以连续不一定可导。
几何意义
考虑函数图像上的两点：\(A(x_0, y_0 = f(x_0))\) 与 \(B(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)\)，则 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 就是过 \(A,B\) 两点割线的斜率。
当 \(\Delta x \to 0\)，\(A\) 与 \(B\) 将越来越靠近。如果函数性质较好，这条割线将不断趋近于 \(A\) 点的切线。所以 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 的极限是 \(A\) 点的切线斜率。
连续与导数的关系
下面给出论断：连续不一定可导，但是可导必连续。
前半句已经说明。证明后半句：
\[ \begin{aligned} &&\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+ \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} &= f'(x_0) \\ &\Rightarrow& \lim_{\Delta x \to 0}f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x f'(x_0) = 0\\ &\Rightarrow& \lim_{x\to x_0}f(x)&= f(x_0) \end{aligned} \]
即可导必连续。
角点
如果左右导数在 \(x=x_0\) 处左右导数都存在但不相等，则该函数在 \(x=x_0\) 处不可导，称 \(x=x_0\) 为该函数的角点。
无穷导数
如果 \(x=x_0\) 时 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \infty\)，则 \(f'(x_0)\) 不存在。
比如，\(f(x) = (x-1)^{\frac{1}{3}}\) 在 \(x=1\) 时具有无穷导数。
震荡导数
和震荡间断点类似。对于函数：\(f(x)=\left\{\begin{aligned}&x\sin\dfrac{1}{x}&,x\ne 0 \\&0&, x=0\end{aligned}\right.\)，在 \(x=0\) 处连续，但是其导数在 \(x=0\) 附近震荡无穷次，极限不存在。
尖点
如果 \(f'(x_0) \to \infty\)，并且 \(f'_-(x_0)\) 与 \(f'_+(x_0)\) 符号相反，则称 \(x=x_0\) 为 \(f(x)\) 的尖点。
常见函数的导数
- \(f(x) \equiv C, f'(x) \equiv 0\)。证明略去。
- \(f(x) = x^n\)，\(f'(x) = \dfrac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} = \dfrac{nx^{n-1}\Delta x + \alpha(\Delta x)}{\Delta x} = nx^{n-1}\)。
- \(f(x) = x^a\)，\(f'(x) = \dfrac{(1 + \frac{\Delta x}{x})^a - 1}{\frac{\Delta x}{x}}x^{a-1} = ax^{n-1}\)。
- \(f(x) = a^x\)，\(f'(x) = \dfrac{a^x(a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} = a^x \ln a\)。
- \(f(x) = \log_a(x)\)，\(f'(x) = \dfrac{\log_a(x) + \log_a(1 + \frac{\Delta x}{x}) - \log_a(x)}{\Delta x} = \dfrac{1}{x\ln a}\)。
运算法则
- 四则运算：
- \((u \pm v)' = u' \pm v'\)。用极限的加减运算证明。
- \((uv)' = uv' + u'v\)。证明：\((uv)' = \dfrac{(u+\Delta u)(v + \Delta v) - uv}{\Delta x} = \dfrac{u\Delta v + \Delta u v + \Delta u \Delta v}{\Delta x} = uv' + u'v\)。
- \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)。证明：\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{\frac{u + \Delta u}{v + \Delta v} - \frac{u}{v}}{\Delta x} = \dfrac{1}{\Delta x}\dfrac{(u+\Delta u)v - u(v + \Delta v)}{v(v+\Delta v)} = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)。
- 反函数：\(y=f(x),x = f^{-1}(y)\)，则 \(x' = \frac{1}{y'}\)。证明：\(x' = \dfrac{\Delta x}{\Delta y} = \dfrac{1}{y'}\)。
- 复合函数：\(y = f(u), u = g(x)\)，则 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = f'(u)\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}\)。