数学分析第一章

发表于 2024-09-30 分类于数学阅读次数： 19

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实数完备性与确界存在定理

有理数

一切形如 $\frac{q}{p} (p \in Z, q \in N_{+})$ 的数叫有理数

有如下性质：

对有理运算封闭
有序
稠密
不完备

实数

实数弥补了有理数不完备的缺陷，即：实数集与坐标轴上的点一一对应。

集合的有界性

有界

上有界： $\exists L \in R, s . t . \forall x \in A, x \leq L$
下有界： $\exists L \in R, s . t . \forall x \in A, x \geq L$
有界：同时有上下界，即 $\exists M > 0, s . t . \forall x \in A, | x | \geq M$

确界

上确界：设 $A \subseteq R, A \neq \emptyset$ ，若存在 $s \in R$ ，满足：
1. $\forall x \in A, x \leq s$
2. $\forall ϵ > 0, \exists x_{0} \in A, x_{0} > s$
被记为 $sup A = s$
下确界：仿照上确界，记作 $inf A$
上确界是最小上界，下确界是最大下界。
上下确界是唯一的。（可以反证，若有 $s_{1} \neq s_{2}$ ，则 $\frac{s_{1} + s_{2}}{2}$ 构成矛盾）
上下确界可以不在数集中。

确界存在定理

任何有上界的非空实数集，一定有上确界，且其上确界仍是实数。

对下确界依然成立。但在有理数集上不成立。这也是刻画实数集完备性的定理。

映射与函数

映射

设 $A, B$ 非空，若 $\forall x \in A, \exists y \in B$ 与 $x$ 按照某种规则 $f$ 与之对应，则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的一个映射。

记为 $f : A \to B$ 或 $f : x \mapsto y, x \in A, y \in B$

映射也被称为算子。若 $B$ 是数集，也被叫做泛函。

$A$ 中元素被称为原象， $A$ 为定义域； $B$ 中元素被称为象， $B$ 为值域。

函数

定义域和值域都为数集的映射叫做函数。

高等数学是研究函数的数学。

定义域?

使得函数表达式有意义的一切（实数？）。

基本初等函数

初等函数是可以用一个表达式表示的函数。

常函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数

（函数 $f$ 图像被记作 $G r {f}$ ）

分段函数

分段函数也可能是初等函数。

如：

$y = {\begin{aligned} x, & x < 1 \\ 2 - x, & x \geq 1 \end{aligned} = 1 - | 1 - x |$

特殊函数

符号函数 $sgn$
高斯函数 $floor (x) = ⌊ x ⌋$
狄利克雷函数 $Dirichlet (x) = {\begin{aligned} 1, & x \in Q \\ 0, & x \notin Q \end{aligned}$
最值函数 $max, min$
线性函数 $y = k x + b$

复合函数

$h (x) = (f \circ g) (x) = f (g (x))$

反函数

如果函数 $f$ 可逆，则将其反函数记作 $f^{- 1}$ ，满足： $f^{- 1} (f (x)) = x$ 。

如果 $f$ 不是单调的，整体上没有反函数，但是可以分成单调分支，在每个分支上求反函数。

另外 $f \circ f^{- 1}$ 与 $f^{- 1} \circ f$ 可能不是同一函数，因为定义域不同。

双曲函数

考虑欧拉定理：

$\sin (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}, \cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}$

我们去掉所有虚数单位，得到双曲函数：

$\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, \cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

同样可以定义双曲正切等： $\tanh (x) = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$

双曲函数有一些和三角函数很像的性质：

$\begin{aligned} \sinh (x \pm y) & = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y \\ \cosh (x \pm y) & = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \\ \cosh^{2} x - \sinh^{2} x & = 1 \\ \sinh 2 x & = 2 \sinh x \cosh x \\ \cosh 2 x & = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x \end{aligned}$

同样，他们也有对应的反函数。

$\begin{aligned} arsh x & = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) \\ arch x & = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) \\ arth x & = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x} \end{aligned}$

数列与极限

数列

高等数学中研究的数列都是无穷数列。

对于函数 $f$ 在 $Z_{+}$ 上的每处取值 $a_{n} = f (n)$ ，按照正整数的顺序排列出来，得到的 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} . . .$ 称为一个数列，记作 ${a_{n}}$ 。 $a_{n}$ 为该数列的通项。

数列对于数轴上的一个点列。
数列是一个整标函数： $x_{n} = f (n)$ 。

极限的概念

“割圆术”

数列的极限

观察到 $n$ 无限增大时， $x_{n} = 1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}$ 无限接近于 1。

怎么精确定义？

使用和 $sup$ 相似的思想：

如果 $\forall ϵ > 0, \exists N \in Z, s . t . \forall n > N, | x_{n} - v | < ϵ$ ，则称数列 $x_{n}$ 的极限为 $v$ 。

记作 $lim_{n \to + \infty} = v$ 或当 $n \to + \infty$ ， $x_{n} \to v$ 。

如果数列没有极限，我们称数列为发散的。

几何解释

对于 $v$ 的任意小邻域， $x_{n}$ 对应的点列最终都会落到邻域内部。

例题

太简单了，略

收敛的性质

唯一性。可用反证法：假设有两个极限 $a_{1}, a_{2}$ ，取 $ϵ = \frac{| a_{1} - a_{2} |}{2}$ ，当 $n > max {N_{1}, N_{2}}$ 时， $a_{n}$ 同时大于和小于 $\frac{a_{1} + a_{2}}{2}$ ，矛盾。
收敛的数列必定有界。证明：有限项必然有界；一定存在 $N$ ，使得 $\forall n > N, a_{n} \in (v - 1, v + 1)$ ，则 $N$ 前 $N$ 后都有界。反过来不成立。但是无界数列必不收敛。
有理运算法则：如果 $lim a_{n}, lim b_{n}$ 都存在，那么 $lim a_{n} + b_{n} = lim a_{n} + lim b_{n}$ ， $lim a_{n} - b_{n} = lim a_{n} - lim b_{n}$ , $lim a_{n} \times b_{n} = lim a_{n} \times lim b_{n}$ ， $lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{lim a_{n}}{lim b_{n}}$ 。

有理运算法则的证明

以加减为例：

$\forall ϵ > 0$ ，取使得 $| a_{n} - a | < \frac{2}{ϵ}, | b_{n} - b | < \frac{2}{ϵ}$ 的 $N_{a}, N_{b}$ ，则 $n > max (N_{a}, N_{b})$ 时， $| a_{n} \pm b_{n} - (a \pm b) | \geq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < ϵ$ ，即 $lim a_{n} \pm b_{n} = a \pm b$ 。

乘法取 $\sqrt{ϵ}$ 即可。

只能推广到有限个极限。

保号性

若 $lim a_{n} = a \neq 0$ ，则 $\exists N \in N_{+}$ ，使得 $\forall n > N, a_{n} \cdot a > 0$ 。

这个比较显，就是概念。

保序性

若 $\exists N \in N_{+}, \forall n > N, a_{n} \leq b_{n}$ 且 $lim a_{n} = a, lim b_{n} = b$ ，则 $a \leq b$ 。

证明也简单，显然 $lim b_{n} - a_{n} = b - a$ ，再由保号性得到 $(b_{n} - a_{n}) (b - a) \geq 0$ ，所以 $b \geq a$ 。注意保号性没有 0 的情况，需要特殊处理。

夹逼性

若 $\exists N \in N_{+}, \forall n > N, a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，且 $lim a_{n} = lim c_{n}$ ，则 $lim a_{n} = lim b_{n} = lim c_{n}$ 。

运用两次保序性自然得到。

例题

6

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}) & = lim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} \\ = lim \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n} + 1} + 1} \\ = 2 \end{aligned}$

7

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}{2 n^{3} + 1} & = \frac{(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{2}{n}) (1 + \frac{3}{n})}{2 + \frac{1}{n^{3}}} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$

8

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} (a > 0) \\ a > 1 : \\ \sqrt[n]{a} = 1 + h_{n} (h_{n} > 0) \\ a = (1 + h_{n})^{n} \geq 1 + n h_{n} \\ h_{n} \leq \frac{a - 1}{n} \\ lim h_{n} = 0 \\ lim \sqrt[n]{a} = 1 \\ a < 1 : \\ lim \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1 \\ lim \sqrt[n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = 1 \end{aligned}$

收敛准则

单调有界准则

如果数列 ${a_{n}}$ 单调增（减）有上（下）界，则 $a_{n}$ 必然收敛。

在实数域上，根据实数确界原理， ${a_{n}}$ 所构成集合必有上确界 $a$ 。

则 $\forall ϵ > 0$ ，存在 $a_{x} \in (a - ϵ, a]$ 。

又因为单调增， $\forall n \geq x, a_{n} \in (a - ϵ, a]$ 。

立刻得到 $lim a_{n} = a$ 。

同理可证单调减。

“一个重要极限”

$e . g .$ 证明 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 收敛：

$\begin{aligned} (1 + \frac{1}{n})^{n} & = 1 + n \frac{1}{n} + (\binom{n}{2}) \frac{1}{n^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{n}} \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + . . . + \frac{1}{n!} \prod_{i = 1}^{n - 1} (1 - \frac{i}{n}) \\ < 1 + 1 + . . . + \frac{1}{n!} \prod (1 - \frac{i}{n + 1}) \\ < (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} \end{aligned}$

即单调。

注意到：

$\begin{aligned} (1 + \frac{1}{n})^{n} & = 1 + n \frac{1}{n} + (\binom{n}{2}) \frac{1}{n^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{n}} \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + . . . + \frac{1}{n!} \prod_{i = 1}^{n - 1} (1 - \frac{i}{n}) \\ < 1 + 1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n} \\ < 3 \end{aligned}$

即有界。

所以 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 收敛。我们记 $lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$ 。

等价性定义

$e$ 的值有多种等价的表述。一种是定义 $\exp (x)$ 为导数等于自身并且 $\exp (0) = 1$ 的函数，再定义 $e = \exp (1)$ ；另一种是定义 $\int_{1}^{e} \frac{d x}{x} = 1$ 。这些定义等学到导数、积分时再描述。这里阐述一个级数定义：

$e = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{1}{i!}$

这实际是 $\exp$ 在 1 处的泰勒展开。

我们希望证明，上述两种定义是等价的，即：

$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} = e$

我们已经知道：

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} \frac{n!}{(n - i)!} \frac{1}{n^{i}} \leq \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!}$

另一方面，对于任意有限 $m$ ，当 $n \geq m$ 时，有：

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \geq \sum_{i = 0}^{m} \frac{1}{i!} \frac{n!}{(n - i)!} \frac{1}{n^{i}}$

令 $n \to \infty$ ，则：

$e \geq \sum_{i = 0}^{m} \frac{1}{i!}$

综合来说，我们有：

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \leq \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} \leq e$

左右两端趋向同一极限 $e$ ，由夹逼性质，得到：

$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} = e$

无理性证明

假设 $e = \frac{p}{q}$ ，即：

$\begin{aligned} \frac{p}{q} & = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} \\ p (q - 1)! & = \sum_{i = 0}^{q} \frac{q!}{i!} + q! \sum_{i = q + 1}^{\infty} \frac{1}{i!} \\ \leq \sum_{i = 0}^{q} \frac{q!}{i!} + \sum_{i = q + 1}^{\infty} \frac{1}{i (i + 1)} \\ \leq \sum_{i = 0}^{q} \frac{q!}{i!} + \frac{1}{q + 1} \end{aligned}$

然后发现前面的 $q + 1$ 项都是整数，但是后面的余项是小于 $\frac{1}{q + 1}$ 的小数。难道说 $p (q - 1)!$ 是小数吗？显然矛盾。因此 $e$ 一定是无理数。

归并原理

子数列

在数列 ${x_{n}}$ 中抽取可数无穷多项并保持相对关系，构成的新数列被称为 ${x_{n}}$ 的一个子列。

即：子列 $y_{n} = x_{p_{n}}$ ， $\forall i \in Z_{+}$ 有 $p_{i} < p_{i + 1}, p_{i} \in Z_{+}$ 。

显然， $p_{i} \geq i$ 。

性质

收敛数列的任意子列收敛，且子数列的极限值与原数列相同。

证明简单， $\forall ϵ > 0$ ，若 $n > N$ 时 $x_{n} \in U_{ϵ} (x)$ ，因为 $p_{N} \geq N$ ，所以 $x_{p_{n}} \in U_{ϵ} (x)$ ，即 $y_{n} \in U_{ϵ} (x)$ ，说明 $y_{n}$ 也收敛。

这个证明还说明，子列收敛速度不会慢于原数列。

逆否

如果存在某个发散子列，则原数列必然发散。

如果两个子列收敛到不同的值，则原数列必然发散。如 $x_{n} = (- 1)^{n}$ 。

推论

对数列增删有限项，不影响原数列极限的存在性，也不影响极限值。因为有限项必然有最后一项，只要让原来的 $N$ 和这个最后一项取 $max$ 就没有影响。
如果一个数列的奇数项和偶数项组成的两个子列收敛于同一个值，则原数列收敛。可以从定义直接证明。（三分四分也可以）

闭区间套定理

如果闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 满足 $\forall n \in Z_{+}$ ，有 $[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \sub [a_{n}, b_{n}]$ ，且 $lim (b_{n} - a_{n}) = 0$ ，则称 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 为闭区间套或区间套。

闭区间套定理在说，对于一个闭区间套，存在唯一实数 $ξ$ 满足 $\forall n \in Z_{+}, ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ 。

证明：显然 $a_{n}$ 单调增且有上界 $b_{1}$ ，所以 $a_{n}$ 有极限，不妨记作 $ξ$ 。

同理， $b_{n}$ 也有极限，且 $lim b_{n} = lim a_{n} + lim (b_{n} - a_{n}) = ξ$ 。

单调有界原理的证明中已经说明 $ξ$ 是 $a_{n}$ 上确界， $b_{n}$ 下确界，所以 $ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ 。

最后若还有 $ξ^{'} \in [a_{n}, b_{n}]$ ，我们有 $0 \leq | ξ - ξ^{'} | \leq b_{n} - a_{n}$ ，由夹逼定理得到 $ξ = ξ^{'}$ 。说明 $ξ$ 唯一。

weierstrass 定理

有界实数列必然有收敛的子列。

证明：假设数列的界是 $[a_{1}, b_{1}]$ 。对区间 $[a_{i}, b_{i}]$ ，取 $m_{i} = \frac{a_{i} + b_{i}}{2}$ ，则在 $[a_{i}, m_{i}]$ 和 $[m_{i}, b_{i}]$ 中必有一个区间包含了原数列的无穷多项（可以反证）。将那个区间记为 $[a_{i + 1}, b_{i + 1}]$ 。

这样，构成的所有 $[a_{i}, b_{i}]$ ，满足 $[a_{i + 1}, b_{i + 1}] \sub [a_{i}, b_{i}]$ ，且区间长度每次减半收敛至 0，构成一个闭区间套。那么必恰有一个 $ξ$ 在所有区间中。

接下来，构造 $y_{i}$ 为 $[a_{i}, b_{i}]$ 中包含的某个原数列元素，且它的下标比 $y_{1}, . . ., y_{i - 1}$ 对应的下标都要大。因为每个区间都包含了原数列无穷多项，所以总能找到这样的 $y_{i}$ 。

则有 $a_{i} \leq y_{i} \leq b_{i}$ ， ${y_{n}}$ 为 ${x_{n}}$ 的子列。

最后，运用夹逼定理，得到 $lim y_{n} = ξ$ 。

我们将数列的某一子列的极限称为收敛点。 weierstrass 定理就是说，有界实数列必然有收敛点。

柯西数列

如果 ${a_{n}}$ 为一个实数列， $\forall ϵ > 0$ ， $\exists N \in Z_{+}$ ，使得 $\forall n, m > N$ ，恒有 $| a_{n} - a_{m} | < ϵ$ ，则 ${a_{n}}$ 被称为 Cauchy 数列。

一个数列收敛的充要条件是它为 Cauchy 数列。

必要性

较为容易。对于 $ϵ > 0$ ，我们取使得 $x_{n} \in U_{\frac{ϵ}{2}} (x)$ 的 $N$ ，自然有 $| x_{n} - x_{m} | < ϵ$ ，因为他们都在长度为 $ϵ$ 的开区间里。

充分性

取 $ϵ = 1$ ，当 $n > N_{ϵ}$ 时， $x_{n}$ 有界；前 $N$ 项必然有界（有限项有界）。所以 Cauchy 数列必然有界。这样它必有一个收敛点。不妨记作 $ξ$ 。下面证明收敛性：

$\forall ϵ > 0$ ，取 $N_{0}$ 使得对于 $n > N_{0}$ ，收敛子列 $y_{n} \in U_{\frac{ϵ}{2}} (ξ)$ 。

接下来取 $N_{1}$ 使得对于 $n, m > N_{1}$ ， $| x_{n} - x_{m} | < \frac{ϵ}{2}$ 。

这样由于子列有无穷项，必然存在 $k > max (N_{0}, N_{1})$ ，使得 $x_{k}$ 在子列 $y$ 中，则 $x_{k} \in U_{\frac{ϵ}{2}} (ξ)$ 。

所以 $\forall n > max (N_{0}, N_{1})$ ， $| x_{n} - x_{k} | < \frac{ϵ}{2}$ 且 $| x_{k} - ξ | < \frac{ϵ}{2}$ ，所以 $| x_{n} - ξ | < ϵ$ 。即 ${x_{n}}$ 收敛。

否命题

既然是充要条件，Cauchy 数列也可以用来判断发散。

例题

1

求 $lim \frac{a^{n}}{n!}$ ：

当 $a > 0$ ：

$\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} = \frac{a}{n + 1}$ ，当 $n > a$ 时， $x_{n}$ 单调递减，又有下界 0，所以 $x_{n}$ 收敛。

注意到 $x_{n + 1} = \frac{a}{n + 1} x_{n}$ ，且这三项的极限都存在。使用有理运算法则： $lim x_{n + 1} = 0 lim x_{n}$ 。所以极限为 0。

$a = 0$ 时显然。

$a < 0$ 时我们有 $- \frac{| a |^{n}}{n!} \leq \frac{a^{n}}{n!} \leq \frac{| a |^{n}}{n!}$ ，运用夹逼定理可知。

综上： $lim \frac{a^{n}}{n!} = 0$ 。

2

证明 $x_{1} = \sqrt{3}, x_{n} = \sqrt{3 + x_{n - 1}}$ 有极限，求这个极限。

我们知道 $x_{1} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 。若 $x_{i} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ ，则 $x_{i + 1} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 。由数学归纳法得到 $x_{n} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 。

又因为 $\sqrt{3 + x_{n}} - x_{n} = \frac{3 + x_{n} - x_{n}^{2}}{\sqrt{3 + x_{n}} + x_{n}} > 0$ ，所以 $x_{n}$ 单调增。

所以 $x_{n}$ 有极限。 $(lim x_{n})^{2} = 3 + lim x_{n - 1}$ ，所以 $lim x_{n} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ 。

3

证明 $x_{n} = \prod_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{2 i}$ 收敛，求其极限。

显然单调减有下界0。但是，此时， $x_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} x_{n - 1}$ ，无法使用有理运算法则。

不妨考虑 $y_{n} = \prod_{i = 1}^{n} \frac{2 i}{2 i + 1}$ ，注意到 $x_{n} < y_{n}$ ， $0 < x_{n}^{2} < x_{n} y_{n} = \frac{1}{2_{n} + 1}$ 。

所以 $(lim x_{n})^{2} = lim x_{n}^{2} = 0$ ，即 $lim x_{n} = 0$ 。

4

证明 $x_{1} = 1, x_{n} = 1 + \frac{1}{1 + x_{n - 1}}$ 收敛，并求其极限。

注意到当 $x_{i} < \sqrt{2}$ 时， $x_{i + 1} > \sqrt{2}$ ，反之， $x_{i} > \sqrt{2}$ 时， $x_{i + 1} < \sqrt{2}$ 。所以考虑 $x_{n}$ 的两个子列 ${x_{2 n}}, {x_{2 n - 1}}$ ：

$\begin{aligned} x_{2 n} & > \sqrt{2} \\ x_{2 n} & = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + x_{2 n - 2}}} = \frac{4 + 3 x_{2 n - 2}}{3 + 2 x_{2 n - 2}} \\ \frac{x_{2 n}}{x_{2 n - 2}} & = \frac{3 + \frac{4}{x_{2 n - 2}}}{3 + 2 x_{2 n - 2}} < 1 \\ x_{2 n} & < x_{2 n - 2} \end{aligned}$

同理可得 $x_{2 n + 1} > x_{2 n - 1}$ 。则两个子列都有极限。

最后解 $lim x_{2 n} = \frac{4 + 3 lim x_{2 n - 2}}{3 + 2 lim x_{2 n - 2}}$ ，得到 $lim x_{2 n} = \sqrt{2}$ 。同理， $lim x_{2 n - 1} = \sqrt{2}$ 。

根据归并原理， $lim x_{n} = \sqrt{2}$ 。

5

若 $x_{n}$ 单调增， $y_{n}$ 单调减，且 $lim (x_{n} - y_{n}) = 0$ 。

则 $\exists N \in N_{+}$ 使得 $\forall n > N, x_{n} - y_{n} \leq 1$ ， $x_{n} \leq y_{n} + 1 \leq y_{1} + 1$ 。则 $x_{n}$ 单调增有上界。所以 $x_{n}$ 有极限。

然后使用有理运算法则： $lim y_{n} = lim x_{n} - lim (x_{n} - y_{n}) = lim x_{n}$ 。

函数的极限

概念

自变量趋向无穷大时函数的极限

如果 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists M \in R_{+}$ ，使得 $\forall x > M, | f (x) - v | < ϵ$ ，则我们说：

$lim_{x \to + \infty} f (x) = v$

同理，若 $\forall x < - M, | f (x) - v | < ϵ$ ，则：

$lim_{x \to - \infty} f (x) = v$

将两者统一，即 $\forall | x | > M ， | f (x) - v | < ϵ$ ，我们称：

$lim_{x \to \infty} f (x) = v$

水平渐近线

如果 $lim_{x \to \infty} f (x) = c$ ，称 $y = c$ 为函数 $f (x)$ 的水平渐近线。

自变量趋向有限值时函数的极限

如果 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0}) \cap D (f)$ 时， $f (x) \in U_{ϵ} (v)$ ，则称：

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = v$

其中 $D (f)$ 为 $f$ 定义域。

这个很重要！比如 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}} = | \frac{x - x_{0}}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} | \leq | \frac{δ}{\sqrt{x_{0}}} |$ 。

如果我们此时草率地取 $δ = ϵ \sqrt{x_{0}}$ ，就有可能出现 $x_{0} - δ < 0$ 导致未定义的情况。

正确的做法是取 $δ = min (ϵ \sqrt{x_{0}}, x_{0})$ 。

注意到我们使用了 $\overset{˚}{U}$ 去心邻域符号，说明 $x_{0}$ 处的极限值和 $x_{0}$ 处的实际值是无关的。即使 $f (x_{0})$ 未定义也没关系。

单侧极限

对于一些函数，可能无法用同一个表达式表达 ${\overset{˚}{U}}_{ϵ} (x_{0})$ 处的函数值。比如分段函数的转折点。求极限时，我们可以从 $x_{0}$ 的左右两边分别求极限。

当 $x$ 从左侧靠近 $x_{0}$ ，我们记作 $x \to x_{0}^{-}$ ；反之右侧记作 $x \to x_{0}^{+}$ 。

从左侧靠近时，我们将极限定义改造如下：

若 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x \in (x_{0} - δ, x_{0})$ ， $| f (x) - v | < ϵ$ ，则我们称 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = v$ 。

右极限同理。

从定义出发，不难得到，如果函数在某处的左右极限存在且相等，等价于函数在该点极限存在，并与左右极限相等。

e.g

$f (x) = \frac{x}{| x |}$ 。当 $x \to 0^{+}$ ： $f (x) = \frac{x}{x} = 1$ ；当 $x \to 0^{-}$ ， $f (x) = \frac{x}{- x} = - 1$ 。则左右极限存在但不相等，说明 $f (x)$ 在 0 处的极限不存在。

Heine定理

设 $f : \overset{˚}{U} (x_{0}) \to R$ ，对于 $\overset{˚}{U} (x_{0})$ 中的任何收敛于 $x_{0}$ 的数列 ${x_{n}}$ ，有数列 ${f (x_{n})}$ 。

有如下定理：对于任何满足 $lim x_{n} = x_{0}$ 的数列有 $lim f (x_{n}) = v$ 的充要条件是 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = v$ 。

这就是Heine定理。

必要性

若 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = v$ ，则 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ ， $f (x) \in U_{ϵ} (v)$ 。

由于 $lim x_{n} = x_{0}$ ，则存在 $N \in N_{+}$ ，使得 $\forall n > N$ ， $x_{n} \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 。

综上， $n > N$ 时， $f (x_{n}) \in U_{ϵ} (x_{0})$ ，即 $lim f (x_{n}) = v$ 。

充分性

假设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) \neq v$ ，则 $\exists ϵ > 0$ ， $\forall δ > 0$ ， $\exists x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ ，使得 $f (x) \notin U_{ϵ} (v)$ 。

不妨构造函数 $x (δ)$ ，表示 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时，让 $f (x) \notin U_{ϵ_{0}} (v)$ 的 $x$ 。

构造 ${(δ_{n}, x_{n})} = {(min {\frac{1}{n}, | x_{n - 1} - x_{0} |}, x (δ_{n}))}$ 。显然，由于 $δ_{n} \leq \frac{1}{n}$ ， $lim δ_{n} = 0$ 。又由 $x (δ)$ 的定义， $x_{n} - x_{0} \in (- δ_{n}, δ_{n})$ ，则 $lim x_{n} = x_{0}$ 。此时我们发现， $\forall x_{n}, f (x_{n}) \notin U_{ϵ_{0}} (v)$ ，说明 $f (x_{n})$ 不收敛于 $v$ ，矛盾。

因此假设不成立。

逆否命题

显然我们无法通过验证不可数无穷多个数列来验证极限。所以 Heine 定理更大的作用是判断函数不收敛，即存在两个数列收敛于不同的极限。

极限的统一

数列是特殊的整标函数。所以我们之后统一研究数列和函数极限的性质。

有理运算法则：

若 $lim f (x) = a$ ， $lim g (x) = b$ 。

$\begin{aligned} lim [f (x) \pm g (x)] & = lim f (x) \pm g (x) = a \pm b \\ lim [f (x) g (x)] & = lim f (x) lim g (x) = a b \\ lim \frac{f (x)}{g (x)} & = \frac{lim f (x)}{lim g (x)} = \frac{a}{b} (b \neq 0) \end{aligned}$

可复合有限次。

唯一性

若 $lim f (x)$ 存在，则极限唯一。否则假设有两个极限 $a, b$ ，则当 $ϵ = \frac{| a - b |}{2}$ 时，同时有 $f (x) > \frac{a + b}{2}$ 和 $f (x) < \frac{a + b}{2}$ ，矛盾。

或者可以考虑归并原理：如果 $lim f (x)$ 存在，则任意子列既收敛于 $a$ ，又收敛于 $b$ ，与数列极限的唯一性矛盾。

局部有界性

如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = v$ ，则 $\exists δ > 0$ , $f (x)$ 在 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时是有界的。

比如取 $ϵ = 1$ ，则 $f (x)$ 在 ${\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 内有上界 $v + 1$ ，下界 $v - 1$ ，此即局部有界。

局部保号性

如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = v \neq 0$ ，则 $\exists δ > 0$ ，使得 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时， $f (x) v > 0$ 。

证明取 $ϵ = \frac{| v |}{2}$ 。

局部保序性

若 $lim f (x) = a, lim g (x) = b$ ，则 $a \leq b$ 的充要条件为 $\exists δ > 0$ ，使得 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时， $f (x) \leq g (x)$ 。

必要性证明取 $ϵ = \frac{b - a}{2}$ 。

充分性证明直接用定义。

同时注意等号。

夹逼性

设 $lim f (x) = lim h (x) = v$ 。

若 $\exists δ > 0$ ，使得 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时， $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ ，则 $lim g (x) = v$ 。

证明容易：一种是 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ_{1}, δ_{2} > 0$ ，使得 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ_{1}} (x_{0})$ 时， $f (x) \in U_{ϵ} (v)$ ； $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ_{2}} (x_{0})$ 时， $h (x) \in U_{ϵ} (v)$ 。则取 $δ^{'} = min {δ, δ_{1}, δ_{2}}$ ，当 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ^{'}} (x_{0})$ 时， $g (x) \in U_{ϵ} (v)$ 。所以 $lim g (x) = v$ 。

另一种思路是归并原理。对于任意 ${x_{n}}$ 满足 $lim x_{n} = x_{0}$ ，都有 $f (x_{n}) \leq g (x_{n}) \leq h (x_{n})$ ，由数列的夹逼准则得到 $lim g (x_{n}) = v$ 。由于此性质对所有 ${x_{n}}$ 都成立，所以由归并原理得到 $lim g (x) = v$ 。

复合法则

设 $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ 。

若 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = u_{0}$ ， $lim_{u \to u_{0}} f (u) = v$ ，则 $lim_{x \to x_{0}} (f \circ g) (x) = v$ 。注意前两个极限要都存在。

有一个重要的条件： $\exists δ > 0$ 当 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时， $g (x) \neq u_{0}$ 。

为什么呢？极限实际是在描述一个动态“靠近”的过程，和那一点的值是无关的，如果内层的 $g (x) \equiv u_{0}$ ，对于外层的 $f (u)$ 就压根没有变化，不构成极限的定义，还会直接取到 $f (u_{0})$ ,它不一定等于 $lim f (u)$ ，甚至不一定有定义。

使用归并原理证明比较简单：对于任意 $lim x_{n} = x_{0}, x_{n} \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ ，有 $lim g (x_{n}) = u_{0}$ ，则有 $lim f (g (x_{n})) = v$ 。因为 $g (x) \neq u_{0}$ ，所以 ${g (x_{n})}$ 是 $\overset{˚}{U} (u_{0})$ 内的数列。根据 Heine 定理，自然得到 $lim (f \circ g) (x) = v$ 。

注意 $lim f (g (x)) = lim f (lim g (x)) \neq f (lim g (x)) \neq f (g (x))$ 。

两个重要极限

一个

我们已经在之前说明了一个重要极限：

$lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$

但是这是对于数列而言。能否推广到实数情况？即证：

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$

分开来讨论。

$x \to + \infty$ ： ${(1 + \frac{1}{⌈ x ⌉})}^{⌊ x ⌋} \leq lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} \leq {(1 + \frac{1}{⌊ x ⌋})}^{⌈ x ⌉}$

左右都是整数的情况，极限都是 $e$ ，由夹逼定理得证。
$x \to - \infty$ ： $\begin{aligned} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} & = {(\frac{- x - 1}{- x})}^{x} \\ = {(\frac{- x}{- x - 1})}^{- x} \\ = {(1 + \frac{1}{- x - 1})}^{- x - 1} \end{aligned}$

由于 $- x - 1 \to + \infty$ ，得证。

另一个

另一个重要极限如下：

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

来考虑它的证明：从 $\sin, \tan$ 的几何定义中，我们不难发现，在 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时，有：

$\begin{array}{r} \sin (x) < x < \tan x \\ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \end{array}$

立即想到使用夹逼法则。但是别急，我们还没有证明连续函数可以直接代入得到极限，所以没有证明 $lim \cos x = 1$ 。也不难： $| 1 - \cos x | = | \frac{\sin^{2} x}{2} | \leq \frac{1}{2} x^{2}$ ，我们取 $δ = \sqrt{2 ϵ}$ 得证 $lim (1 - \cos x) = 0$ ，再用有理运算法则。

得到 $lim \frac{x}{\sin x} = 1$ 。

同时还能有： $\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \frac{1}{\cos x} = 1$ 。

单调有界准则

无穷远处极限

设 $f (x)$ 单调增有上界，则 $lim_{x \to + \infty} f (x) = sup f (x)$ 。

证明：因为有上界，必有上确界。 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists x_{0}$ 使得 $sup f (x_{0}) \geq f (x_{0}) > sup f (x) - ϵ$ ，又因为 $f$ 单调增，所以当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) \in U (sup f (x))$ 。即证 $lim_{x \to + \infty} f (x) = sup f (x)$ 。

同理可证 $f (x)$ 单调减有下界时 $lim_{x \to - \infty} f (x) = inf f (x)$ 。

单侧极限

设 $f (x)$ 是区间 $I$ 上的单调函数，则 $f (x)$ 在 $I$ 内每一点的单侧极限存在。

不妨假设 $f (x)$ 单调增， $\forall x_{0} \in I$ ，显然 $x_{0}$ 必有左右邻域中的一个。若左邻域存在，则 $f (x)$ 在左邻域内有上界 $f (x_{0})$ ，则去心左邻域有上确界。用和上面相同的办法可证，左侧极限存在且等于左邻域上确界。

同理可知右邻域内右侧极限存在。

因为左右领域必有一个，所以单侧极限必然存在。

柯西收敛原理

和数列中相似： $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在的充要条件是： $\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x_{1}, x_{2} \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ ，有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ϵ$ 。

充分性

考虑 $\overset{˚}{U} (x_{0})$ 上收敛到 $x_{0}$ 的任意两个数列 ${x_{n}}, {y_{n}}$ ，有 $\forall ϵ > 0$ ， $\exists N \in Z_{+}$ ，使得 $\forall n > N, x_{n}, y_{n} \in U_{ϵ} (x_{0})$ 。

这样， $\forall i, j > N$ ， $| f (x_{i}) - f (x_{j}) | < ϵ$ ， $| f (y_{i}) - f (y_{j}) | < ϵ$ 。所以 ${f (x_{n})}, {f (y_{n})}$ 都是柯西序列。

接下来是最妙的部分，我们构造数列 ${z_{n}} = f (x_{1}), f (y_{1}), f (x_{2}), f (y_{2}), \dots$ 。有 $\forall i, j > 2 N$ ， $| z_{i} - z_{j} | < 2 ϵ$ ，所以 ${z_{n}}$ 也是柯西序列。既然 ${f (x_{n})}, {f (y_{n})}$ 是它的两个子列，根据归并原理，他们必然收敛到统一极限！

所以我们证明，对于 $\overset{˚}{U} (x_{0})$ 上收敛到 $x_{0}$ 的任意两个数列，他们对应的函数值收敛到统一极限。由 Heine 定理，自然得到 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处收敛。

必要性

这个简单。

$\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ ，有 $| f (x) - lim f (x) | < \frac{ϵ}{2}$ 。

则 $\forall x_{1}, x_{2} \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ ，有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = | f (x_{1}) - lim f (x) + lim f (x) - f (x_{2}) | < ϵ$ 。

无穷小量

当 $x \to x_{0}$ 时，若 $y \to 0$ ，则 $y$ 称为 $x \to x_{0}$ 时的无穷小量。

无穷小与极限

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = v \Leftrightarrow f (x) = v + o (x)$ 。其中 $o (x)$ 是 $x \to x_{0}$ 时的无穷小。

两个方向的证明都基于有理运算法则。一个是证明 $o (x) \to 0$ ，一个是证明 $f (x) \to a$ 。

运算性质

在自变量同一变化过程中，有限个无穷小量的代数和或乘积仍然是无穷小量。由有理运算法则自然得到。
在自变量同一变化过程中，局部有界函数和无穷小量的乘积仍是为无穷小量。设 $x \in \overset{˚}{U} (x_{0}), | u (x) | \leq M$ ， $o (x) \to 0$ 则 $| o (x) u (x) | \leq M | o (x) | \to 0$ 。

无穷小的阶

设 $α, β$ 是在自变量同一变化过程中的两个无穷小。且 $α \neq 0$ ：

考虑 $γ = \frac{β}{α}$ 。若 $lim γ = 0$ ，称 $α$ 是 $β$ 的高阶无穷小；若 $lim γ$ 为常数，称 $α$ 是 $β$ 的同阶无穷小，特别地，若 $lim γ = 1$ ，则称 $α$ 是 $β$ 的等价无穷小；若 $lim γ = \infty$ ，则称 $α$ 是 $β$ 的低阶无穷小。

特别地，若 $lim \frac{β}{α^{x}}$ ，则 $β$ 是 $α$ 的 $k$ 阶无穷小。

常见的等价无穷小

$x \to 0$ 时：

$\begin{aligned} \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x & \sim x \\ \ln (x + 1) \sim e^{x} - 1 & \sim x \\ 1 - \cos x & \sim \frac{1}{2} x^{2} \\ \sqrt[n]{1 + x} - 1 & \sim \frac{1}{n} x \end{aligned}$

第一行证明基于 $lim \frac{\sin x}{x} = 1$ 。以 $\arcsin x$ 为例：

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = lim_{\arcsin x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin \arcsin x} = 1$

第二行证明实际基于 $lim \frac{\ln (x + 1)}{x} = lim \ln (x + 1)^{\frac{1}{x}} = \ln e = 1$ ，其实用到了 $\ln$ 的连续性，将在后面被说明。

第三行使用简单的三角代换，第四行使用分子有理化技巧。

等价无穷小的条件

$lim \frac{β}{α} = 1 \Leftrightarrow lim \frac{β - α}{α} = 0 \Leftrightarrow β - α = o (α)$

说明 $α$ 与 $β$ 的充要条件是 $β = α + o (α)$ 。

无穷小的等价代换

在自变量同一变化过程中，若 $α \sim α^{'}$ ， $β \sim β^{'}$ 且 $lim \frac{β^{'}}{α^{'}}$ 存在，则：

$lim \frac{β}{α} = lim \frac{β}{β^{'}} \frac{β^{'}}{α^{'}} \frac{α^{'}}{α} = lim \frac{β^{'}}{α^{'}}$

此为乘除代换。

若想要进行加减代换，一个充分条件是：

$lim \frac{β}{α} = c \neq \pm 1 \Rightarrow lim \frac{β \mp α}{β^{'} \mp α^{'}} = 1$

证明比较类似糖水原理？

以 $β + α$ 为例，若 $lim \frac{β}{α} = c \neq - 1$ ：

$lim \frac{β + α}{β^{'} + α^{'}} = lim \frac{α^{'}}{α} \frac{\frac{β}{α} + 1}{\frac{β^{'}}{α^{'}} + 1} = \frac{c + 1}{c + 1} = 1$

无穷大量

当 $x \to x_{0}$ 时，若 $y \to \infty$ ，则 $y$ 称为 $x \to x_{0}$ 时的无穷大量。

特别地，若 $y \to \pm \infty$ ，我们分别称 $y$ 为 $x \to x_{0}$ 时的正（负）无穷大。

与无穷小量的关系

在自变量同一变化过程下：

若 $f (x) \to \infty$ ，则 $\frac{1}{f (x)} \to 0$ 。
若 $f (x) \to 0, f (x) \neq 0$ ，则 $\frac{1}{f (x)} \to \infty$ 。

这说明关于无穷大的问题都可以转化为关于无穷小的问题。

证明使用极限的定理。有些 trival。

运算性质

有限个无穷大量的乘积是无穷大量。
有界量和无穷大量的和是无穷大量。
注意因为无穷大包含正负，所以相加后不一定是无穷大量。

连续

若 $f (x)$ 在 $U (x_{0})$ 上有定义， $lim_{Δ x \to 0} f (x_{0} + Δ x) \to f (x_{0})$ ，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

等价条件

$f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续的充要条件为： $\forall δ > 0, \exists ϵ > 0$ 使得 $\forall x \in U_{ϵ} (x_{0})$ ， $| f (x) - f (x_{0}) | < δ$ 。

左连续与右连续

若 $f (x)$ 在 $U (x_{0}^{-})$ 上有定义， $lim_{Δ x \to 0^{-}} f (x_{0} + Δ x) \to f (x_{0})$ ，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处左连续。即 $\forall δ > 0, \exists ϵ > 0$ 使得 $\forall x \in [x_{0}, x_{0} + δ)$ ， $| f (x) - f (x_{0}) | < δ$ 。

同理可定义右连续。

连续的等价条件为同时左连续和右连续。

连续函数

如果 $f (x)$ 在开区间 $I$ 上的每一点连续，则 $f (x)$ 是 $I$ 上的连续函数。

如果 $f (x)$ 在闭区间 $I$ 内部处处连续，并在左端点右连续，右端点左连续，则 $f (x)$ 是 $I$ 上的连续函数。

半开半闭区间同理。

我们将区间 $I$ 上所有的连续函数构成的集合记作 $C (I)$ 。则 $f (x)$ 在 $I$ 上连续就是 $f (x) \in C (I)$ 。

e.g.

对于 $\sin x$ ，任取 $x_{0} \in R$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \sin (x + Δ x) = lim (\sin x \cos Δ x + \cos x \sin Δ x)$ 。

对于 $\sin x \cos Δ x$ ，其极限为 $\sin x$ 。

对于 $\cos x \sin Δ x$ ，有 $0 \leq | \cos x \sin Δ x | \leq | \sin Δ x |$ ，由夹逼定理知道 $lim \cos x \sin Δ x = 0$ 。

综上， $lim \sin (x + Δ x) = \sin x$ ，即 $\sin x$ 在 $R$ 上连续。

间断点

函数上不连续的点叫做间断点。

跳跃间断点

如果 $x_{0}$ 处的左、右极限都存在，但 $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) \neq lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的跳跃间断点。

可去间断点

如果 $x_{0}$ 处的极限存在，但是 $f (x_{0})$ 不等于极限或不存在。此时可以改变 $f (x_{0})$ 的定义，使得 $f (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 。称 $x_{0}$ 为 $f (x_{0})$ 的可去间断点。改变后的函数在 $x_{0}$ 处连续。

以上两类统称第一类间断点，因为左右极限均存在。

无穷间断点

若 $x_{0}$ 处的某个单侧发散到无穷，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的无穷间断点。

震荡间断点

对于 $x_{0}$ 处的某个单侧极限，若 $\exists M > 0$ ，使得 $f (x)$ 在大于 $M$ 和小于 $- M$ 两处震荡无穷次，则 $x$ 称为 $f (x)$ 的震荡间断点。

连续函数的性质

四则运算

若 $f (x), g (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续：则 $f (x) \pm g (x), f (x) g (x), \frac{f (x)}{g (x)}$ （ $g (x) \neq 0$ ）均是连续函数。

由极限的运算法则可得。

局部有界

若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，则 $f (x)$ 在 $U (x_{0})$ 上局部有界。

由极限的有界性可得。

复合函数

引理

若 $lim g (x) = u_{0}$ ，函数 $f (u)$ 在 $u_{0}$ 连续，则 $lim f (g (x)) = f (lim g (x)) = f (u_{0})$ 。

注意这个引理和极限复合法则的区别。极限复合法则有一个限制条件：

$\exists δ > 0$ 当 $x \in {\overset{˚}{U}}_{δ} (x_{0})$ 时， $g (x) \neq u_{0}$ 。

这是为了保证让 $u = g (x)$ 有一个靠近 $u_{0}$ 的过程，才能保证外层 $f (u)$ 取的是极限。

但是在这里， $f (u)$ 是个连续函数，所以 $f (u_{0})$ 必有定义，而且 $lim f (u) = f (u_{0})$ ，那么有没有靠近的过程就无所谓了，等号始终成立。

剩下的证明过程和极限的复合法则相似。

对于任意 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}, x_{n} \in \overset{˚}{U} (x_{0})$ ，有 $lim_{n \to \infty} g (x_{n}) = u_{0}$ 。

接下来，去除所有使得 $g (x_{n}) = u_{0}$ 的 $x_{n}$ ，记去除部分为 $z_{n}$ ，剩下的为 $y_{n}$ 。

若剩下的数仍有无穷项，则 $g (x_{n})$ 的子列 $g (y_{n})$ 仍以 $u_{0}$ 为极限，且 $g (y_{n}) \in \overset{˚}{U} (u_{0})$ 。由 Heine 定理，有 $lim_{n \to \infty} f (g (y_{n})) = f (u_{0})$ 。

若去除的部分有无穷项，则 $g (x_{n})$ 的子列 $g (z_{n}) \equiv u_{0}$ ，则必有 $lim_{n \to \infty} f (g (z_{n})) = f (u_{0})$ 。

所以 $f (g (x_{n}))$ 的两个子列极限都是 $f (u_{0})$ 。注意到上述两个子列 $f (g (y_{n})), f (g (z_{n}))$ 不可能都不存在，并且如果其中一个是有限项则不会影响原数列 $f (g (x_{n}))$ 的极限。那么根据数列的归并原理， $lim_{n \to \infty} f (g (x_{n})) = lim_{n \to \infty} f (g (y_{n})) = lim_{n \to \infty} f (g (z_{n})) = f (u_{0})$ 。

所以，对于任意 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0}, x_{n} \in \overset{˚}{U} (x_{0})$ ，有 $lim_{n \to \infty} f (g (x_{n})) = f (u_{0})$ ，则由 Heine 定理， $lim_{x \to x_{0}} f (g (x)) = f (u_{0})$ 。

此性质说明，当 $f (x)$ 是连续函数时，可以将括号外的极限符号放到括号里去。

复合函数的连续性

若 $g (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续， $f (u)$ 在 $u_{0} = g (x_{0})$ 处连续，则 $f (g (x))$ 在 $x_{0}$ 处连续。

由连续的定义，得到： $lim_{u \to u_{0}} f (u) = f (u_{0})$ ， $lim_{x \to x_{0}} g (x) = g (x_{0}) = u_{0}$ 。

由引理， $lim_{x \to x_{0}} f (g (x)) = f (u_{0})$ ，又因为 $f (g (x_{0})) = f (u_{0})$ ，所以 $f (g (x))$ 在 $x_{0}$ 处连续。

幂指函数

设 $f, g$ 是 $A$ 上的两个函数，若 $\forall x \in A, f (x) > 0$ ，则形如 $f (x)^{g (x)}$ 的函数叫幂指函数。

我们容易发现， $f (x)^{g (x)} = \exp (g (x) \ln f (x))$ 。

不难验证 $\exp, \ln$ 都是连续函数，则当 $f, g$ 是连续函数时， $f (x)^{g (x)}$ 也是连续函数。有： $lim (f (x)^{g (x)}) = {(lim f (x))}^{(lim g (x))}$ 。

初等函数

在这里，我们略过基本初等函数在定义域上都连续的证明，因为其过于冗长，没有新意。

综合上述证明，我们可以得到：一切初等函数在其定义域的任意区间上都连续。

回顾连续的定义，在区间内连续的意思是：在区间内部处处连续，在区间的闭端点单侧连续。

有界性

若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

使用反证法：如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上无界，则对于 $[a, \frac{a + b}{2}], [\frac{a + b}{2}, b]$ ， $f (x)$ 至少在一个区间上无界。

则可以构造一个闭区间套 ${[a_{n}, b_{n}]}$ ，使得 $f (x)$ 在每个区间上都无界。由闭区间套定理，存在唯一 $ξ$ 使得 $lim a_{n} = lim b_{n} = ξ$ 。由于 $f (x)$ 在 $ξ$ 上连续，则根据连续性的局部有界性，存在 $U (ξ)$ 使得 $f (x)$ 在 $U (ξ)$ 内有界。与“在每个区间上都无界”矛盾。

所以 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

注意必须是闭区间才能成立。比如 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续，但无界。

最大值最小值定理

这个证明真是天才。

若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有最值。

首先由于 $f (x)$ 有界，因此必有上确界 $α = sup f (x)$ ，下确界 $β = inf f (x)$ 。我们将说明 $\exists ξ \in [a, b]$ ，使得 $f (ξ) = α$ 。下确界同理可证。

由上确界的定义， $\forall n \in N_{+}$ ，必然存在 $x_{n} \in [a, b]$ ，使得 $α - \frac{1}{n} \leq f (x_{n}) \leq α$ 。

由于 $x_{n} \in [a, b]$ ，由 Weierstress 定理，必然存在一个子列 $ξ_{n}$ ，使得 $lim ξ_{n} = ξ$ 。由于 $ξ_{n}$ 是 $x_{n}$ 的子列，所以 $ξ_{n}$ 对应的 $x$ 中标号大于 $n$ ，则 $α - \frac{1}{n} \leq f (ξ_{n}) \leq α$ 。

这样，考虑数列 $f (ξ_{n})$ ，由夹逼定理知道 $lim f (ξ_{n}) = α$ 。又因为 $f$ 的连续性，则 $f (lim ξ_{n}) = f (ξ) = α$ 。所以上确界能取到。

介值定理

为什么要提前讲，因为我不知道怎么在没有介值定理的情况下给出反函数的性质。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $f (a) \neq f (b)$ ，则 $\forall v \in (min {f (a), f (b)}, max {f (a), f (b)})$ ， $\exists x \in (a, b)$ ，使得 $f (x) = v$ 。

证明：不妨设 $f (a) < f (b)$ 。

取 $m = \frac{a + b}{2}$ 。若 $f (m) = v$ ，则 $\exists x = m \in (a, b)$ ，使得 $f (x) = v$ 。否则若 $f (m) > v$ ，则构造 $[a_{1}, b_{1}] = [a, m]$ ；若 $f (m) < v$ ，构造 $[a_{1}, b_{1}] = [m, b]$ 。

如此可以构造闭区间套 $[a_{n}, b_{n}]$ ，使得 $v \in (f (a_{n}), f (b_{n}))$ 。设 $lim a_{n} = lim b_{n} = ξ$ ，由连续性和保序性得： $f (ξ) = lim f (a_{n}) \leq v, f (ξ) = lim f (b_{n}) \geq v$ ，所以 $f (ξ) = v$ 。又因为 $f (a) \neq v, f (b) \neq v$ ，则 $\exists x = ξ \in (a, b)$ ，使得 $f (x) = v$ 。

零点存在定理

若 $f (x) \in C [a, b]$ ，且 $f (a) f (b) < 0$ ，则 $\exists ξ \in (a, b)$ 使得 $f (ξ) = 0$ 。

这是介值定理的一个特例，也即当 $v = 0$ 时。

反函数

如果 $f (x)$ 是连续函数并在区间 $I$ 内反函数存在，则反函数 $f^{- 1}$ 也是连续函数。

引理

在区间 $I$ 上连续并存在反函数的函数必然严格单调，且它的反函数也严格单调。

考虑反证法：假设存在 $x_{0}, x_{1}, x_{2} \in I$ 使得 $x_{0} < x_{1} < x_{2}$ ， $f (x_{2}) < f (x_{0}) < f (x_{1})$ 。

令 $v = \frac{f (x_{1}) + f (x_{0})}{2}$ ，显然 $v \in (f (x_{0}), f (x_{1}))$ ， $v \in (f (x_{2}), f (x_{1}))$ 。则由介值定理，在 $(x_{0}, x_{1})$ 上存在 $ξ_{1}$ 使得 $f (ξ_{1}) = v$ ，在 $(x_{1}, x_{2})$ 上存在 $ξ_{2}$ 使得 $f (ξ_{2}) = v$ 。那么 $f$ 的反函数根本不存在！

所以假设错误，即 $\forall x_{0} < x_{1} < x_{2}$ ， $(f (x_{0}) - f (x_{1})) (f (x_{0}) - f (x_{2})) > 0$ ，即 $f (x)$ 严格单调。

不妨假设函数严格增。那么， $\forall y_{1} > y_{2}$ ， $f^{- 1} (y_{1}) > f^{- 1} (y_{2})$ ，即 $f^{- 1}$ 单调增。

反函数的连续性

不妨假设 $f, f^{- 1}$ 单调增。对于 $y_{0} = f (x_{0}) \in I_{y}$ ， $\forall ϵ > 0$ ，设 $y_{1} = f (x_{0} - ϵ), y_{2} = f (x_{0} + ϵ)$ 。则由单调性， $\forall y \in (y_{1}, y_{2})$ ， $f^{- 1} (y) \in (x_{0} - ϵ, x_{0} + ϵ)$ 。所以，取 $δ = min (y_{2} - y_{0}, y_{0} - y_{1})$ ，则 $\forall y \in U_{δ} (y_{0})$ ，有 $f^{- 1} (y) = U_{ϵ} (x_{0})$ 。说明 $f^{- 1}$ 连续。

注意上述区间要与 $I$ 或 $I_{y}$ 取交。如果 $y_{0}$ 在 $I_{y}$ 的边界，那么我们只考虑单侧的极限与连续。

一致连续

若 $f (x) \in C (I)$ ， $\forall ϵ > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得 $\forall x_{0} \in I, \forall x \in U_{δ} (x_{0})$ ，都有 $| f (x) - f (x_{0}) | < ϵ$ ，则我们称 $f (x)$ 在 $I$ 上一致连续。

换句话说，一致连续的意思是，存在一个收敛速度，使得每一点收敛到自身的速度都快于这个速度。即收敛速度有非零下界。此时 $δ$ 的取值只和 $ϵ$ 有关，和 $x_{0}$ 无关。

闭区间一致连续

若 $f (x) \in [a, b]$ ，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上必然一致连续。此即康托定理。

考虑反证法：假设 $f (x)$ 不是一致连续，则 $\exists ϵ > 0, \forall δ > 0$ ，总有 $x, x^{'} \in [a, b]$ ，满足 $| x - x^{'} | < δ$ 但是 $| f (x) - f (x^{'}) | \geq ϵ$ 。

取 $δ_{n} = \frac{1}{n}$ ，构造 $x_{n}, x_{n}^{'} \in [a, b]$ 使得 $| x_{n} - x_{n}^{'} | < δ$ 但是 $| f (x_{n}) - f (x_{n}^{'}) | \geq ϵ$ 。

由于 $x_{n} \in [a, b]$ ，则由 Weierstress 定理，必有收敛子列 $lim x_{n_{k}} = ξ$ 。由于 $x_{n_{k}} - δ_{n_{k}} < x_{n_{k}}^{'} < x_{n_{k}} + δ_{n_{k}}$ ，则由夹逼定理， $lim x_{n_{k}}^{'} = lim x_{n_{k}}$ 。由连续性， $lim f (x_{n_{k}}) = lim f (x_{n_{k}}^{'})$ ，这与 $| f (x_{n}) - f (x_{n}^{'}) | \geq ϵ$ 矛盾。所以假设不成立，原函数 $f (x)$ 必然一致连续。

这个证明和最大值最小值定理的证明思想高度相似，都是反证法、构造数列、利用闭区间 Weierstress 定理构造收敛子列、说明矛盾。

几何意义

一条一致连续函数的曲线可以用一系列 $ϵ \times 2 δ$ 的矩形纸片覆盖住。

压缩映射

如果 $\forall x, y \in R$ ， $| f (x) - f (y) | \leq k | x - y |$ ，其中 $k \in (0, 1)$ ，那么称 $f$ 是一个压缩映射。

压缩映射原理

如果 $f : R \to R$ 是一个压缩映射，那么 $f$ 有且仅有一个不动点。即有且仅有一个 $x \in R$ 满足 $f (x) = x$ 。

任取 $x_{0} \in R$ ，构造迭代数列 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ 。则 $| x_{n + 1} - x_{n} | = | f (x_{n}) - f (x_{n - 1}) | \leq k | x_{n - 1} - x_{n - 2} | \leq k^{2} | x_{n - 2} - x_{n - 3} | \leq \dots \leq k^{n} | x_{1} - x_{0} |$ 。

那么，任取 $x_{n}$ 与 $x_{n + p}$ ， $| x_{n} - x_{n + p} | \leq | x_{1} - x_{0} | \sum_{i = n + 1}^{n + p} k^{i - 1} \leq | x_{1} - x_{0} | \frac{k^{n}}{1 - k}$ 。

这样， $\forall ϵ > 0$ ，取 $N$ 使得 $| x_{1} - x_{0} | \frac{k^{N}}{1 - k} < ϵ$ ，即 $N = ⌈ \log_{k} \frac{(1 - k) ϵ}{| x_{1} - x_{0} |} ⌉$ ，那么 $\forall n > N$ ， $| x_{1} - x_{0} | \frac{k^{n}}{1 - k} < ϵ$ 。则 ${x_{n}}$ 是柯西序列，必收敛到唯一极限。不妨设极限为 $ξ$ ，那么 $f (ξ) = ξ$ ，即有一个不动点。

最后若还有另一不动点 $ξ^{'} \neq ξ$ ，则 $| f (ξ^{'}) - f (ξ) | = | ξ^{'} - ξ | > k | ξ^{'} - ξ |$ ，矛盾。

所以有且仅有一个不动点。