数学分析第一章

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实数完备性与确界存在定理

有理数

一切形如 \(\frac qp(p \in \mathbb Z, q \in \mathbb N _+)\) 的数叫有理数

有如下性质：

1. 对有理运算封闭
2. 有序
3. 稠密
4. 不完备

实数

实数弥补了有理数不完备的缺陷，即：实数集与坐标轴上的点一一对应。

集合的有界性

有界

• 上有界：\(\exists L \in \mathbb R, s.t. \forall x \in A, x \le L\)
• 下有界：\(\exists L \in \mathbb R, s.t. \forall x \in A, x \ge L\)
• 有界：同时有上下界，即 \(\exists M > 0, s.t. \forall x \in A, |x| \ge M\)

确界

• 上确界：设 \(A \subseteq \mathbb R, A \ne \emptyset\)，若存在 \(s \in \mathbb R\)，满足：

  1. \(\forall x \in A, x \le s\)
  2. \(\forall \epsilon > 0, \exists x_0 \in A, x_0 > s\)

  被记为 \(\sup A = s\)

• 下确界：仿照上确界，记作 \(\inf A\)

• 上确界是最小上界，下确界是最大下界。

• 上下确界是唯一的。（可以反证，若有 \(s_1 \ne s_2\)，则 \(\frac{s_1 + s_2}{2}\) 构成矛盾）

• 上下确界可以不在数集中。

确界存在定理

任何有上界的非空实数集，一定有上确界，且其上确界仍是实数。

对下确界依然成立。但在有理数集上不成立。这也是刻画实数集完备性的定理。

映射与函数

映射

设 \(A,B\) 非空，若 \(\forall x \in A,\exists y \in B\) 与 \(x\) 按照某种规则 \(f\) 与之对应，则称 \(f\) 为 \(A\) 到 \(B\) 的一个映射。

记为 \(f: A \to B\) 或 \(f : x\mapsto y, x \in A, y \in B\)

映射也被称为算子。若 \(B\) 是数集，也被叫做泛函。

\(A\) 中元素被称为原象，\(A\) 为定义域；\(B\) 中元素被称为象，\(B\) 为值域。

函数

定义域和值域都为数集的映射叫做函数。

高等数学是研究函数的数学。

定义域?

使得函数表达式有意义的一切（实数？）。

基本初等函数

初等函数是可以用一个表达式表示的函数。

1. 常函数
2. 幂函数
3. 指数函数
4. 对数函数
5. 三角函数
6. 反三角函数

（函数 \(f\) 图像被记作 \(Gr\{f\}\)）

分段函数

分段函数也可能是初等函数。

如：

\[ y = \left \{ \begin{aligned} &x,& x<1\\ &2-x,&x \ge 1 \end{aligned}\right . = 1 - |1-x| \]

特殊函数

1. 符号函数 \(\operatorname{sgn}\)
2. 高斯函数 \(\operatorname{floor}(x) = \lfloor x\rfloor\)
3. 狄利克雷函数 \(\operatorname{Dirichlet}(x) = \left\{\begin{aligned}&1,&x \in \mathbb Q\\&0,& x \notin \mathbb Q \end{aligned}\right.\)
4. 最值函数 \(\max,\min\)
5. 线性函数 \(y=kx+b\)

复合函数

\(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\)

反函数

如果函数 \(f\) 可逆，则将其反函数记作 \(f^{-1}\)，满足：\(f^{-1}(f(x))=x\)。

如果 \(f\) 不是单调的，整体上没有反函数，但是可以分成单调分支，在每个分支上求反函数。

另外 \(f\circ f^{-1}\) 与 \(f^{-1}\circ f\) 可能不是同一函数，因为定义域不同。

双曲函数

考虑欧拉定理：

\[ \sin(x) = \frac{e^{\mathrm ix} - e^{-\mathrm i x}}{2\mathrm i},\cos(x) = \frac{e^{\mathrm ix} + e^{-\mathrm ix}}{2} \]

我们去掉所有虚数单位，得到双曲函数：

\[ \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

同样可以定义双曲正切等：\(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)

双曲函数有一些和三角函数很像的性质：

\[ \begin{aligned} \sinh(x \pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\ \cosh(x \pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\\ \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1\\ \sinh 2x &= 2 \sinh x \cosh x\\ \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x\\ \end{aligned} \]

同样，他们也有对应的反函数。

\[ \begin{aligned} \operatorname{arsh} x &= \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)\\ \operatorname{arch} x &= \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)\\ \operatorname{arth} x &= \frac 12 \ln \frac{1+x}{1-x} \end{aligned} \]

数列与极限

数列

高等数学中研究的数列都是无穷数列。

对于函数 \(f\) 在 \(\mathbb Z_+\) 上的每处取值 \(a_n = f(n)\)，按照正整数的顺序排列出来，得到的 \(a_1,a_2,...,a_n...\) 称为一个数列，记作 \(\{a_n\}\)。\(a_n\) 为该数列的通项。

1. 数列对于数轴上的一个点列。
2. 数列是一个整标函数：\(x_n = f(n)\)。

极限的概念

“割圆术”

数列的极限

观察到 \(n\) 无限增大时，\(x_n= 1 + \frac{(-1)^n}{n}\) 无限接近于 1。

怎么精确定义？

使用和 \(\sup\) 相似的思想：

如果 \(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb Z, s.t. \forall n > N, |x_n- v| < \epsilon\)，则称数列 \(x_n\) 的极限为 \(v\)。

记作 \(\lim\limits_{n \to +\infty} = v\) 或当 \(n \to + \infty\)，\(x_n \to v\)。

如果数列没有极限，我们称数列为发散的。

几何解释

对于 \(v\) 的任意小邻域，\(x_n\) 对应的点列最终都会落到邻域内部。

例题

太简单了，略

收敛的性质

1. 唯一性。可用反证法：假设有两个极限 \(a_1, a_2\)，取 \(\epsilon=\frac{|a_1-a_2|}{2}\)，当 \(n > \max\{N_1, N_2\}\) 时，\(a_n\) 同时大于和小于 \(\frac{a_1 + a_2}{2}\)，矛盾。
2. 收敛的数列必定有界。 证明：有限项必然有界；一定存在 \(N\)，使得 \(\forall n > N, a_n \in (v - 1, v + 1)\)，则 \(N\) 前 \(N\) 后都有界。 反过来不成立。但是无界数列必不收敛。
3. 有理运算法则：如果 \(\lim a_n, \lim b_n\) 都存在，那么 \(\lim a_n+b_n=\lim a_n + \lim b_n\)，\(\lim a_n-b_n=\lim a_n - \lim b_n\), \(\lim a_n\times b_n=\lim a_n \times \lim b_n\)，\(\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{\lim b_n}\)。

有理运算法则的证明

以加减为例：

\(\forall \epsilon > 0\)，取使得 \(|a_n - a| < \frac{2}{\epsilon},|b_n - b| < \frac{2}{\epsilon}\) 的 \(N_a, N_b\)，则 \(n > \max(N_a ,N_b)\) 时，\(|a_n \pm b_n - (a \pm b)| \ge |a_n - a| + |b_n - b| < \epsilon\)，即 \(\lim a_n \pm b_n = a\pm b\)。

乘法取 \(\sqrt \epsilon\) 即可。

只能推广到有限个极限。

保号性

若 \(\lim a_n = a \ne 0\)，则 \(\exists N \in \mathbb N_+\)，使得 \(\forall n > N, a_n\cdot a > 0\)。

这个比较显，就是概念。

保序性

若 \(\exists N \in \mathbb N_+, \forall n > N, a_n\le b_n\) 且 \(\lim a_n = a, \lim b_n = b\)，则 \(a \le b\)。

证明也简单，显然 \(\lim b_n - a_n = b-a\)，再由保号性得到 \((b_n - a_n)(b-a) \ge 0\)，所以 \(b \ge a\)。注意保号性没有 0 的情况，需要特殊处理。

夹逼性

若 \(\exists N \in \mathbb N_+, \forall n > N, a_n\le b_n \le c_n\)，且 \(\lim a_n = \lim c_n\)，则 \(\lim a_n = \lim b_n = \lim c_n\)。

运用两次保序性自然得到。

例题

6

\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\sqrt n (\sqrt n - \sqrt{n + 1}) &= \lim \frac{\sqrt n}{\sqrt n + \sqrt{n + 1}}\\ &= \lim \frac{1}{\sqrt{\frac 1n + 1} + 1} \\ &= 2 \end{aligned} \]

7

\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{2n^3 + 1} &= \frac{(1 + \frac 1n)(1 + \frac 2n)(1 + \frac 3n)}{2 + \frac{1}{n^3}}\\ &= \frac 12 \end{aligned} \]

8

\[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}(a > 0)\\ a > 1:&\\ &\sqrt[n]{a} = 1 + h_n(h_n > 0)\\ &a=(1 + h_n)^n \ge 1 + nh_n\\ &h_n \le\frac{a-1}{n}\\ &\lim h_n = 0\\ &\lim \sqrt[n]{a} = 1\\ a < 1:&\\ &\lim \sqrt[n]{\frac 1a} = 1\\ &\lim \sqrt[n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{\frac 1a}} = 1 \end{aligned} \]

收敛准则

单调有界准则

如果数列 \(\{a_n\}\) 单调增（减）有上（下）界，则 \(a_n\) 必然收敛。

在实数域上，根据实数确界原理，\(\{a_n\}\) 所构成集合必有上确界 \(a\)。

则 \(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(a_x \in (a - \epsilon, a]\)。

又因为单调增，\(\forall n \ge x, a_n \in (a - \epsilon, a]\)。

立刻得到 \(\lim a_n = a\)。

同理可证单调减。

“一个重要极限”

\(e.g.\) 证明 \((1 + \frac 1n)^n\) 收敛：

\[ \begin{aligned} (1 + \frac 1n)^n &= 1 + n\frac 1n + \binom{n}{2}\frac{1}{n^2} + ... + \frac{1}{n^n}\\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac 1n) + \frac{1}{3!}(1 -\frac 1n)(1 - \frac 2n) + ... + \frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{i}{n}\right) \\ & < 1 + 1 + ... + \frac{1}{n!}\prod\left(1 - \frac{i}{n+1}\right) \\ & < (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \end{aligned} \]

即单调。

注意到：

\[ \begin{aligned} (1 + \frac 1n)^n &= 1 + n\frac 1n + \binom{n}{2}\frac{1}{n^2} + ... + \frac{1}{n^n}\\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac 1n) + \frac{1}{3!}(1 -\frac 1n)(1 - \frac 2n) + ... + \frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{i}{n}\right) \\ & < 1 + 1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2\times 3} + ... + \frac{1}{(n-1)n} \\ & < 3 \end{aligned} \]

即有界。

所以 \((1 + \frac 1n)^n\) 收敛。我们记 \(\lim (1 + \frac 1n)^n = e\)。

等价性定义

\(e\) 的值有多种等价的表述。一种是定义 \(\exp(x)\) 为导数等于自身并且 \(\exp(0)=1\) 的函数，再定义 \(e = \exp(1)\)；另一种是定义 \(\int_1^e \frac{\mathrm dx}{x}=1\)。这些定义等学到导数、积分时再描述。这里阐述一个级数定义：

\[ e = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{i!} \]

这实际是 \(\exp\) 在 1 处的泰勒展开。

我们希望证明，上述两种定义是等价的，即：

\[ \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac 1n\right)^n = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!} = e \]

我们已经知道：

\[ \left(1 + \frac 1n\right)^n = \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}\frac{n!}{(n-i)!}\frac{1}{n^i} \le \sum_{i = 0}^n \frac{1}{i!} \]

另一方面，对于任意有限 \(m\)，当 \(n\ge m\) 时，有：

\[ \left(1 + \frac 1n\right)^n \ge \sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\frac{n!}{(n-i)!}\frac{1}{n^i} \]

令 \(n \to \infty\)，则：

\[ e \ge \sum_{i=0}^m\frac{1}{i!} \]

综合来说，我们有：

\[ \left(1 + \frac 1n\right)^n \le \sum_{i = 0}^n \frac{1}{i!} \le e \]

左右两端趋向同一极限 \(e\)，由夹逼性质，得到：

\[ \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac 1n\right)^n = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!} = e \]

无理性证明

假设 \(e = \frac{p}{q}\)，即：

\[ \begin{aligned} \frac{p}{q} &= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\\ p(q-1)!&= \sum_{i=0}^q \frac{q!}{i!} + q!\sum_{i=q + 1}^{\infty}\frac{1}{i!}\\ &\le\sum_{i=0}^q \frac{q!}{i!} + \sum_{i=q + 1}^{\infty}\frac{1}{i(i+1)}\\ &\le \sum_{i=0}^q \frac{q!}{i!} + \frac{1}{q+1} \end{aligned} \]

然后发现前面的 \(q+1\) 项都是整数，但是后面的余项是小于 \(\frac{1}{q+1}\) 的小数。难道说 \(p(q-1)!\) 是小数吗？显然矛盾。因此 \(e\) 一定是无理数。

归并原理

子数列

在数列 \(\{x_n\}\) 中抽取可数无穷多项并保持相对关系，构成的新数列被称为 \(\{x_n\}\) 的一个子列。

即：子列 \(y_n = x_{p_n}\)，\(\forall i \in \mathbb Z_+\) 有 \(p_i < p_{i + 1}, p_i \in \mathbb Z_+\)。

显然，\(p_i \ge i\)。

性质

收敛数列的任意子列收敛，且子数列的极限值与原数列相同。

证明简单，\(\forall \epsilon>0\)，若 \(n > N\) 时 \(x_n \in U_\epsilon(x)\)，因为 \(p_N \ge N\)，所以 \(x_{p_n} \in U_{\epsilon}(x)\)，即 \(y_n \in U_{\epsilon}(x)\)，说明 \(y_n\) 也收敛。

这个证明还说明，子列收敛速度不会慢于原数列。

逆否

如果存在某个发散子列，则原数列必然发散。

如果两个子列收敛到不同的值，则原数列必然发散。如 \(x_n = (-1)^n\)。

推论

• 对数列增删有限项，不影响原数列极限的存在性，也不影响极限值。 因为有限项必然有最后一项，只要让原来的 \(N\) 和这个最后一项取 \(\max\) 就没有影响。
• 如果一个数列的奇数项和偶数项组成的两个子列收敛于同一个值，则原数列收敛。 可以从定义直接证明。（三分四分也可以）

闭区间套定理

如果闭区间列 \(\{[a_n, b_n]\}\) 满足 \(\forall n \in \mathbb Z_+\)，有 \([a_{n+1}, b_{n+1}] \sub [a_n, b_n]\)，且 \(\lim (b_n - a_n) = 0\)，则称 \(\{[a_n, b_n]\}\) 为闭区间套或区间套。

闭区间套定理在说，对于一个闭区间套，存在唯一实数 \(\xi\) 满足 \(\forall n \in \mathbb Z_+, \xi \in [a_n, b_n]\)。

证明：显然 \(a_n\) 单调增且有上界 \(b_1\)，所以 \(a_n\) 有极限，不妨记作 \(\xi\)。

同理，\(b_n\) 也有极限，且 \(\lim b_n = \lim a_n + \lim(b_n - a_n) = \xi\)。

单调有界原理的证明中已经说明 \(\xi\) 是 \(a_n\) 上确界，\(b_n\) 下确界，所以 \(\xi \in [a_n,b_n]\)。

最后若还有 \(\xi' \in [a_n, b_n]\)，我们有 \(0 \le |\xi - \xi'| \le b_n - a_n\)，由夹逼定理得到 \(\xi = \xi'\)。说明 \(\xi\) 唯一。

weierstrass 定理

有界实数列必然有收敛的子列。

证明：假设数列的界是 \([a_1, b_1]\)。对区间 \([a_i, b_i]\)，取 \(m_i = \frac{a_i + b_i}{2}\)，则在 \([a_i, m_i]\) 和 \([m_i, b_i]\) 中必有一个区间包含了原数列的无穷多项（可以反证）。将那个区间记为 \([a_{i+1}, b_{i+1}]\)。

这样，构成的所有 \([a_i, b_i]\)，满足 \([a_{i + 1}, b_{i + 1}] \sub [a_i, b_i]\)，且区间长度每次减半收敛至 0，构成一个闭区间套。那么必恰有一个 \(\xi\) 在所有区间中。

接下来，构造 \(y_i\) 为 \([a_i, b_i]\) 中包含的某个原数列元素，且它的下标比 \(y_1,...,y_{i-1}\) 对应的下标都要大。因为每个区间都包含了原数列无穷多项，所以总能找到这样的 \(y_i\)。

则有 \(a_i \le y_i \le b_i\)，\(\{y_n\}\) 为 \(\{x_n\}\) 的子列。

最后，运用夹逼定理，得到 \(\lim y_n = \xi\)。

我们将数列的某一子列的极限称为收敛点。 weierstrass 定理就是说，有界实数列必然有收敛点。

柯西数列

如果 \(\{a_n\}\) 为一个实数列，\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists N \in \mathbb Z_+\)，使得 \(\forall n,m > N\)，恒有 \(|a_n - a_m| < \epsilon\)，则 \(\{a_n\}\) 被称为 Cauchy 数列。

一个数列收敛的充要条件是它为 Cauchy 数列。

必要性

较为容易。对于 \(\epsilon > 0\)，我们取使得 \(x_n \in U_{\frac{\epsilon}{2}}(x)\) 的 \(N\)，自然有 \(|x_n - x_m| < \epsilon\)，因为他们都在长度为 \(\epsilon\) 的开区间里。

充分性

取 \(\epsilon = 1\)，当 \(n > N_\epsilon\) 时，\(x_n\) 有界；前 \(N\) 项必然有界（有限项有界）。所以 Cauchy 数列必然有界。这样它必有一个收敛点。不妨记作 \(\xi\)。下面证明收敛性：

\(\forall \epsilon > 0\)，取 \(N_0\) 使得对于 \(n > N_0\)，收敛子列 \(y_n \in U_{\frac{\epsilon}{2}}(\xi)\)。

接下来取 \(N_1\) 使得对于 \(n,m > N_1\)，\(|x_n - x_m| < \frac{\epsilon}{2}\)。

这样由于子列有无穷项，必然存在 \(k > \max(N_0, N_1)\)，使得 \(x_k\) 在子列 \(y\) 中，则 \(x_k \in U_{\frac{\epsilon}{2}}(\xi)\)。

所以 \(\forall n > \max(N_0, N_1)\)，\(|x_n - x_k| < \frac{\epsilon}{2}\) 且 \(|x_k - \xi| < \frac{\epsilon}{2}\)，所以 \(|x_n - \xi| < \epsilon\)。即 \(\{x_n\}\) 收敛。

否命题

既然是充要条件，Cauchy 数列也可以用来判断发散。

例题

1

求 \(\lim\frac{a^n}{n!}\)：

当 \(a > 0\)：

\(\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a}{n+1}\)，当 \(n > a\) 时，\(x_n\) 单调递减，又有下界 0，所以 \(x_n\) 收敛。

注意到 \(x_{n+1} = \frac{a}{n+1}x_n\)，且这三项的极限都存在。使用有理运算法则：\(\lim x_{n+1} = 0 \lim x_n\)。所以极限为 0。

\(a = 0\) 时显然。

\(a < 0\) 时我们有 \(-\frac{|a|^n}{n!} \le \frac{a^n}{n!} \le \frac{|a|^n}{n!}\)，运用夹逼定理可知。

综上：\(\lim \frac{a^n}{n!} = 0\)。

2

证明 \(x_1 = \sqrt 3, x_n = \sqrt{3 + x_{n-1}}\) 有极限，求这个极限。

我们知道 \(x_1 < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。若 \(x_i < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)，则 \(x_{i+1} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。由数学归纳法得到 \(x_n < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。

又因为 \(\sqrt{3 + x_n} - x_n = \frac{3 + x_n - x_n^2}{\sqrt{3 + x_n} + x_n} > 0\)，所以 \(x_n\) 单调增。

所以 \(x_n\) 有极限。\((\lim x_n)^2 = 3 + \lim x_{n-1}\)，所以 \(\lim x_n = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。

3

证明 \(x_n = \prod_{i=1}^n \frac{2i-1}{2i}\) 收敛，求其极限。

显然单调减有下界0。但是，此时，\(x_n = \frac{2n-1}{2n} x_{n-1}\)，无法使用有理运算法则。

不妨考虑 \(y_n = \prod_{i=1}^n \frac{2i}{2i+1}\)，注意到 \(x_n < y_n\)，\(0 < x_n^2 < x_ny_n = \frac{1}{2_n + 1}\)。

所以 \((\lim x_n)^2 = \lim x_n^2 = 0\)，即 \(\lim x_n = 0\)。

4

证明 \(x_1 = 1, x_n = 1 + \frac{1}{1 + x_{n-1}}\) 收敛，并求其极限。

注意到当 \(x_i < \sqrt 2\) 时，\(x_{i +1} > \sqrt2\)，反之，\(x_i > \sqrt 2\) 时，\(x_{i +1} < \sqrt2\)。所以考虑 \(x_n\) 的两个子列 \(\{x_{2n}\}, \{x_{2n - 1}\}\)：

\[ \begin{aligned} x_{2n} &> \sqrt 2\\ x_{2n} &= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + x_{2n-2}}} = \frac{4 + 3x_{2n-2}}{3 + 2x_{2n-2}}\\ \frac{x_{2n}}{x_{2n-2}} &= \frac{3 + \frac{4}{x_{2n-2}}}{3 + 2x_{2n-2}} < 1\\ x_{2n} &< x_{2n-2} \end{aligned} \]

同理可得 \(x_{2n+1} > x_{2n-1}\)。则两个子列都有极限。

最后解 \(\lim x_{2n} = \frac{4 + 3 \lim x_{2n-2}}{3 + 2\lim x_{2n-2}}\)，得到 \(\lim x_{2n} = \sqrt 2\)。同理，\(\lim x_{2n-1} = \sqrt 2\)。

根据归并原理，\(\lim x_n = \sqrt 2\)。

5

若 \(x_n\) 单调增，\(y_n\) 单调减，且 \(\lim (x_n - y_n) = 0\)。

则 \(\exists N \in \mathbb N_+\) 使得 \(\forall n > N, x_n - y_n \le 1\)，\(x_n \le y_n + 1 \le y_1 + 1\)。则 \(x_n\) 单调增有上界。所以 \(x_n\) 有极限。

然后使用有理运算法则：\(\lim y_n = \lim x_n - \lim(x_n - y_n) = \lim x_n\)。

函数的极限

概念

自变量趋向无穷大时函数的极限

如果 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists M \in \mathbb R_+\)，使得 \(\forall x > M, |f(x) - v| < \epsilon\)，则我们说：

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = v \]

同理，若 \(\forall x < -M, |f(x) - v| < \epsilon\)，则：

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = v \]

将两者统一，即 \(\forall |x| > M，|f(x) - v| < \epsilon\)，我们称：

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = v \]

水平渐近线

如果 \(\lim_{x \to \infty}f(x) = c\)，称 \(y=c\) 为函数 \(f(x)\) 的水平渐近线。

自变量趋向有限值时函数的极限

如果 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0) \cap D(f)\) 时，\(f(x) \in U_\epsilon(v)\)，则称：

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = v \]

其中 \(D(f)\) 为 \(f\) 定义域。

这个很重要！比如 \(f(x) = \sqrt x\)，\(\sqrt x - \sqrt{x_0} = \left|\frac{x - x_0}{\sqrt x + \sqrt{x_0}}\right| \le \left|\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\right|\)。

如果我们此时草率地取 \(\delta = \epsilon\sqrt{x_0}\)，就有可能出现 \(x_0 - \delta < 0\) 导致未定义的情况。

正确的做法是取 \(\delta = \min(\epsilon \sqrt{x_0}, x_0)\)。

注意到我们使用了 \(\mathring{U}\) 去心邻域符号，说明 \(x_0\) 处的极限值和 \(x_0\) 处的实际值是无关的。即使 \(f(x_0)\) 未定义也没关系。

单侧极限

对于一些函数，可能无法用同一个表达式表达 \(\mathring U_\epsilon(x_0)\) 处的函数值。比如分段函数的转折点。求极限时，我们可以从 \(x_0\) 的左右两边分别求极限。

当 \(x\) 从左侧靠近 \(x_0\)，我们记作 \(x \to x_0^-\)；反之右侧记作 \(x \to x_0^+\)。

从左侧靠近时，我们将极限定义改造如下：

若 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\)，\(|f(x) - v| < \epsilon\)，则我们称 \(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = v\)。

右极限同理。

从定义出发，不难得到，如果函数在某处的左右极限存在且相等，等价于函数在该点极限存在，并与左右极限相等。

e.g

\(f(x) = \frac{x}{|x|}\)。当 \(x \to 0^+\)：\(f(x) = \frac{x}{x} = 1\)；当 \(x \to 0^-\)，\(f(x) = \frac{x}{-x} = -1\)。则左右极限存在但不相等，说明 \(f(x)\) 在 0 处的极限不存在。

Heine定理

设 \(f: \mathring U(x_0) \to \mathbb R\)，对于 \(\mathring{U}(x_0)\) 中的任何收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\)，有数列 \(\{f(x_n)\}\)。

有如下定理：对于任何满足 \(\lim x_n = x_0\) 的数列有 \(\lim f(x_n) = v\) 的充要条件是 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v\)。

这就是Heine定理。

必要性

若 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v\)，则 \(\forall \epsilon >0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x \in \mathring U_\delta(x_0)\)，\(f(x) \in U_{\epsilon}(v)\)。

由于 \(\lim x_n = x_0\)，则存在 \(N \in \mathbb N_+\)，使得 \(\forall n > N\)，\(x_n \in \mathring U_\delta(x_0)\)。

综上，\(n > N\) 时，\(f(x_n) \in U_\epsilon(x_0)\)，即 \(\lim f(x_n) = v\)。

充分性

假设 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \ne v\)，则 \(\exists \epsilon > 0\)，\(\forall \delta > 0\)，\(\exists x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，使得 \(f(x) \notin U_\epsilon(v)\)。

不妨构造函数 \(x(\delta)\)，表示 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，让 \(f(x) \notin U_{\epsilon_0}(v)\) 的 \(x\)。

构造 \(\{(\delta_n, x_n)\} = \{(\min\{\frac{1}{n}, |x_{n-1} - x_0|\}, x(\delta_n))\}\)。显然，由于 \(\delta_n \le \frac{1}{n}\)，\(\lim \delta_n = 0\)。又由 \(x(\delta)\) 的定义，\(x_n - x_0 \in (-\delta_n, \delta_n)\)，则 \(\lim x_n = x_0\)。此时我们发现，\(\forall x_n, f(x_n) \notin U_{\epsilon_0}(v)\)，说明 \(f(x_n)\) 不收敛于 \(v\)，矛盾。

因此假设不成立。

逆否命题

显然我们无法通过验证不可数无穷多个数列来验证极限。所以 Heine 定理更大的作用是判断函数不收敛，即存在两个数列收敛于不同的极限。

极限的统一

数列是特殊的整标函数。所以我们之后统一研究数列和函数极限的性质。

有理运算法则：

若 \(\lim f(x) = a\)，\(\lim g(x) = b\)。

\[ \begin{aligned} \lim [f(x) \pm g(x)] &= \lim f(x) \pm g(x) = a \pm b \\ \lim [f(x)g(x)] &= \lim f(x) \lim g(x) = ab \\ \lim \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{a}{b}(b \ne 0) \end{aligned} \]

可复合有限次。

唯一性

若 \(\lim f(x)\) 存在，则极限唯一。否则假设有两个极限 \(a,b\)，则当 \(\epsilon = \frac{|a-b|}{2}\) 时，同时有 \(f(x) > \frac{a+b}{2}\) 和 \(f(x) < \frac{a+b}{2}\)，矛盾。

或者可以考虑归并原理：如果 \(\lim f(x)\) 存在，则任意子列既收敛于 \(a\)，又收敛于 \(b\)，与数列极限的唯一性矛盾。

局部有界性

如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v\)，则 \(\exists \delta > 0\), \(f(x)\) 在 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时是有界的。

比如取 \(\epsilon = 1\)，则 \(f(x)\) 在 \(\mathring{U}_{\delta}(x_0)\) 内有上界 \(v + 1\)，下界 \(v-1\)，此即局部有界。

局部保号性

如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v \ne 0\)，则 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，\(f(x)v > 0\)。

证明取 \(\epsilon = \frac{|v|}{2}\)。

局部保序性

若 \(\lim f(x) = a, \lim g(x) = b\)，则 \(a \le b\) 的充要条件为 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，\(f(x) \le g(x)\)。

必要性证明取 \(\epsilon = \frac{b-a}{2}\)。

充分性证明直接用定义。

同时注意等号。

夹逼性

设 \(\lim f(x) = \lim h(x) = v\)。

若 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，\(f(x) \le g(x) \le h(x)\)，则 \(\lim g(x) = v\)。

证明容易：一种是 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta_1, \delta_2 > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_{\delta_1}(x_0)\) 时，\(f(x) \in U_\epsilon(v)\)；\(x \in \mathring{U}_{\delta_2}(x_0)\) 时，\(h(x) \in U_\epsilon(v)\)。则取 \(\delta' = \min\{\delta, \delta_1, \delta_2\}\)，当 \(x \in \mathring{U}_{\delta'}(x_0)\) 时，\(g(x) \in U_\epsilon(v)\)。所以 \(\lim g(x) = v\)。

另一种思路是归并原理。对于任意 \(\{x_n\}\) 满足 \(\lim x_n = x_0\)，都有 \(f(x_n) \le g(x_n) \le h(x_n)\)，由数列的夹逼准则得到 \(\lim g(x_n) = v\)。由于此性质对所有 \(\{x_n\}\) 都成立，所以由归并原理得到 \(\lim g(x) = v\)。

复合法则

设 \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)。

若 \(\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = u_0\)，\(\lim\limits_{u \to u_0} f(u) = v\)，则 \(\lim\limits_{x \to x_0}(f \circ g)(x) = v\)。注意前两个极限要都存在。

有一个重要的条件：\(\exists \delta > 0\) 当 \(x \in \mathring U_\delta(x_0)\) 时，\(g(x) \ne u_0\)。

为什么呢？极限实际是在描述一个动态“靠近”的过程，和那一点的值是无关的，如果内层的 \(g(x) \equiv u_0\)，对于外层的 \(f(u)\) 就压根没有变化，不构成极限的定义，还会直接取到 \(f(u_0)\),它不一定等于 \(\lim f(u)\)，甚至不一定有定义。

使用归并原理证明比较简单：对于任意 \(\lim x_n = x_0, x_n \in \mathring U_\delta(x_0)\)，有 \(\lim g(x_n) = u_0\)，则有 \(\lim f(g(x_n)) = v\)。因为 \(g(x) \ne u_0\)，所以 \(\{g(x_n)\}\) 是 \(\mathring{U}(u_0)\) 内的数列。根据 Heine 定理，自然得到 \(\lim (f \circ g)(x) = v\)。

注意 \(\lim f(g(x)) = \lim f(\lim g(x)) \ne f(\lim g(x)) \ne f(g(x))\)。

两个重要极限

一个

我们已经在之前说明了一个重要极限：

\[ \lim_{n \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

但是这是对于数列而言。能否推广到实数情况？即证：

\[ \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]

分开来讨论。

• \(x \to +\infty\)： \[ \left(1 + \frac{1}{\lceil x \rceil}\right)^{\lfloor x\rfloor} \le \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \le \left(1 + \frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lceil x\rceil} \]

  左右都是整数的情况，极限都是 \(e\)，由夹逼定理得证。

• \(x \to -\infty\)： \[ \begin{aligned} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x &= \left(\frac{-x-1}{-x}\right)^{x} \\ &= \left(\frac{-x}{-x-1}\right)^{-x} \\ &= \left(1+\frac{1}{-x-1}\right)^{-x-1} \end{aligned} \]

  由于 \(-x-1 \to +\infty\)，得证。

另一个

另一个重要极限如下：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \]

来考虑它的证明：从 \(\sin,\tan\) 的几何定义中，我们不难发现，在 \(x \in (0, \frac{\pi}{2})\)时，有：

\[ \begin{aligned} \sin(x) < x < \tan x \\ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

立即想到使用夹逼法则。但是别急，我们还没有证明连续函数可以直接代入得到极限，所以没有证明 \(\lim \cos x = 1\)。也不难：\(|1 - \cos x| = \left|\frac{\sin^2 x}{2}\right| \le \frac{1}{2}x^2\)，我们取 \(\delta = \sqrt{2\epsilon}\) 得证 \(\lim (1 - \cos x) = 0\)，再用有理运算法则。

得到 \(\lim \frac{x}{\sin x} = 1\)。

同时还能有：\(\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x} = 1\)。

单调有界准则

无穷远处极限

设 \(f(x)\) 单调增有上界，则 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup f(x)\)。

证明：因为有上界，必有上确界。\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists x_0\) 使得 \(\sup f(x_0) \ge f(x_0) > \sup f(x) - \epsilon\)，又因为 \(f\) 单调增，所以当 \(x > x_0\) 时，\(f(x) \in U(\sup f(x))\)。即证 \(\lim_{x \to +\infty}f(x) = \sup f(x)\)。

同理可证 \(f(x)\) 单调减有下界时 \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \inf f(x)\)。

单侧极限

设 \(f(x)\) 是区间 \(I\) 上的单调函数，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 内每一点的单侧极限存在。

不妨假设 \(f(x)\) 单调增，\(\forall x_0 \in I\)，显然 \(x_0\) 必有左右邻域中的一个。若左邻域存在，则 \(f(x)\) 在左邻域内有上界 \(f(x_0)\)，则去心左邻域有上确界。用和上面相同的办法可证，左侧极限存在且等于左邻域上确界。

同理可知右邻域内右侧极限存在。

因为左右领域必有一个，所以单侧极限必然存在。

柯西收敛原理

和数列中相似：\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在的充要条件是：\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x_1, x_2 \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon\)。

充分性

考虑 \(\mathring U(x_0)\) 上收敛到 \(x_0\) 的任意两个数列 \(\{x_n\}, \{y_n\}\)，有 \(\forall \epsilon > 0\)， \(\exists N \in \mathbb Z_+\)，使得 \(\forall n > N, x_n,y_n \in U_\epsilon(x_0)\)。

这样，\(\forall i,j > N\)，\(|f(x_i) - f(x_j)| < \epsilon\)，\(|f(y_i) - f(y_j)| < \epsilon\)。所以 \(\{f(x_n)\}, \{f(y_n)\}\) 都是柯西序列。

接下来是最妙的部分，我们构造数列 \(\{z_n\} = f(x_1), f(y_1), f(x_2), f(y_2), \cdots\)。有 \(\forall i,j > 2N\)，\(|z_i - z_j| < 2\epsilon\)，所以 \(\{z_n\}\) 也是柯西序列。既然 \(\{f(x_n)\}, \{f(y_n)\}\) 是它的两个子列，根据归并原理，他们必然收敛到统一极限！

所以我们证明，对于 \(\mathring U(x_0)\) 上收敛到 \(x_0\) 的任意两个数列，他们对应的函数值收敛到统一极限。由 Heine 定理，自然得到 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处收敛。

必要性

这个简单。

\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，有 \(|f(x) - \lim f(x)| < \frac{\epsilon}{2}\)。

则 \(\forall x_1, x_2 \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，有 \(|f(x_1) - f(x_2)| = |f(x_1) - \lim f(x) + \lim f(x) - f(x_2)| < \epsilon\)。

无穷小量

当 \(x \to x_0\) 时，若 \(y \to 0\)，则 \(y\) 称为 \(x \to x_0\) 时的无穷小量。

无穷小与极限

\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v \Leftrightarrow f(x) = v + o(x)\)。其中 \(o(x)\) 是 \(x \to x_0\) 时的无穷小。

两个方向的证明都基于有理运算法则。一个是证明 \(o(x) \to 0\)，一个是证明 \(f(x) \to a\)。

运算性质

• 在自变量同一变化过程中，有限个无穷小量的代数和或乘积仍然是无穷小量。由有理运算法则自然得到。
• 在自变量同一变化过程中，局部有界函数和无穷小量的乘积仍是为无穷小量。设 \(x \in \mathring{U}(x_0),|u(x)| \le M\)，\(o(x) \to 0\) 则 \(|o(x)u(x)| \le M|o(x)| \to 0\)。

无穷小的阶

设 \(\alpha, \beta\) 是在自变量同一变化过程中的两个无穷小。且 \(\alpha \ne 0\)：

考虑 \(\gamma = \frac{\beta}{\alpha}\)。若 \(\lim \gamma = 0\)，称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小；若 \(\lim \gamma\) 为常数，称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的同阶无穷小，特别地，若 \(\lim \gamma = 1\)，则称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的等价无穷小；若 \(\lim \gamma = \infty\)，则称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的低阶无穷小。

特别地，若 \(\lim \frac{\beta}{\alpha^x}\)，则 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。

常见的等价无穷小

\(x \to 0\) 时：

\[ \begin{aligned} \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x &\sim x \\ \ln(x + 1) \sim e^x - 1 &\sim x\\ 1 - \cos x &\sim \frac{1}{2}x^2\\ \sqrt[n]{1+x} -1 &\sim \frac 1n x \end{aligned} \]

第一行证明基于 \(\lim \frac{\sin x}{x} = 1\)。以 \(\arcsin x\) 为例：

\[ \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = \lim_{\arcsin x \to 0}\frac{\arcsin x}{\sin \arcsin x} = 1 \]

第二行证明实际基于 \(\lim\frac{\ln(x+1)}{x} = \lim \ln(x+1)^{\frac{1}{x}} = \ln e = 1\)，其实用到了 \(\ln\) 的连续性，将在后面被说明。

第三行使用简单的三角代换，第四行使用分子有理化技巧。

等价无穷小的条件

\[ \lim\frac{\beta}{\alpha} = 1 \Leftrightarrow \lim \frac{\beta-\alpha}{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \beta - \alpha = o(\alpha) \]

说明 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的充要条件是 \(\beta = \alpha + o(\alpha)\)。

无穷小的等价代换

在自变量同一变化过程中，若 \(\alpha \sim \alpha'\)，\(\beta \sim \beta'\) 且 \(\lim \frac{\beta'}{\alpha'}\) 存在，则：

\[ \lim\frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta}{\beta'}\frac{\beta'}{\alpha'}\frac{\alpha'}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'} \]

此为乘除代换。

若想要进行加减代换，一个充分条件是：

\[ \lim \frac{\beta}{\alpha} = c \ne \pm 1 \Rightarrow \lim \frac{\beta \mp \alpha}{\beta'\mp\alpha'} = 1 \]

证明比较类似糖水原理？

以 \(\beta+\alpha\) 为例，若 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \ne -1\)：

\[ \lim \frac{\beta+\alpha}{\beta'+\alpha'} = \lim \frac{\alpha'}{\alpha}\frac{\frac{\beta}{\alpha} + 1}{\frac{\beta'}{\alpha'} + 1} = \frac{c+1}{c+1} = 1 \]

无穷大量

当 \(x \to x_0\) 时，若 \(y \to \infty\)，则 \(y\) 称为 \(x \to x_0\) 时的无穷大量。

特别地，若 \(y \to \pm \infty\)，我们分别称 \(y\) 为 \(x \to x_0\) 时的正（负）无穷大。

与无穷小量的关系

在自变量同一变化过程下：

• 若 \(f(x) \to \infty\)，则 \(\frac 1{f(x)} \to 0\)。
• 若 \(f(x) \to 0, f(x) \ne 0\)，则 \(\frac 1{f(x)} \to \infty\)。

这说明关于无穷大的问题都可以转化为关于无穷小的问题。

证明使用极限的定理。有些 trival。

运算性质

• 有限个无穷大量的乘积是无穷大量。
• 有界量和无穷大量的和是无穷大量。
• 注意因为无穷大包含正负，所以相加后不一定是无穷大量。

连续

若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 上有定义，\(\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x) \to f(x_0)\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。

等价条件

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续的充要条件为：\(\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0\) 使得 \(\forall x \in U_{\epsilon}(x_0)\)，\(|f(x) - f(x_0)| < \delta\)。

左连续与右连续

若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0^-)\) 上有定义，\(\lim_{\Delta x \to 0^-} f(x_0 + \Delta x) \to f(x_0)\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处左连续。即 \(\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0\) 使得 \(\forall x \in [x_0, x_0 + \delta)\)，\(|f(x) - f(x_0)| < \delta\)。

同理可定义右连续。

连续的等价条件为同时左连续和右连续。

连续函数

如果 \(f(x)\) 在开区间 \(I\) 上的每一点连续，则 \(f(x)\) 是 \(I\) 上的连续函数。

如果 \(f(x)\) 在闭区间 \(I\) 内部处处连续，并在左端点右连续，右端点左连续，则 \(f(x)\) 是 \(I\) 上的连续函数。

半开半闭区间同理。

我们将区间 \(I\) 上所有的连续函数构成的集合记作 \(C(I)\)。则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续就是 \(f(x) \in C(I)\)。

e.g.

对于 \(\sin x\)，任取 \(x_0 \in \mathbb R\)，则 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sin (x + \Delta x) = \lim (\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x)\)。

对于 \(\sin x \cos \Delta x\)，其极限为 \(\sin x\)。

对于 \(\cos x \sin \Delta x\)，有 \(0 \le |\cos x \sin \Delta x| \le |\sin \Delta x|\)，由夹逼定理知道 \(\lim \cos x \sin \Delta x = 0\)。

综上，\(\lim \sin (x + \Delta x) = \sin x\)，即 \(\sin x\) 在 \(\mathbb R\) 上连续。

间断点

函数上不连续的点叫做间断点。

跳跃间断点

如果 \(x_0\) 处的左、右极限都存在，但 \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)\)，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的跳跃间断点。

可去间断点

如果 \(x_0\) 处的极限存在，但是 \(f(x_0)\) 不等于极限或不存在。此时可以改变 \(f(x_0)\) 的定义，使得 \(f(x_0) = \lim_{x \to x_0}f(x)\)。称 \(x_0\) 为 \(f(x_0)\) 的可去间断点。改变后的函数在 \(x_0\) 处连续。

以上两类统称第一类间断点，因为左右极限均存在。

无穷间断点

若 \(x_0\) 处的某个单侧发散到无穷，则称 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的无穷间断点。

震荡间断点

对于 \(x_0\) 处的某个单侧极限，若 \(\exists M > 0\)，使得 \(f(x)\) 在大于 \(M\) 和小于 \(-M\) 两处震荡无穷次，则 \(x\) 称为 \(f(x)\) 的震荡间断点。

连续函数的性质

四则运算

若 \(f(x), g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续：则 \(f(x)\pm g(x),f(x)g(x), \frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x) \ne 0\)）均是连续函数。

由极限的运算法则可得。

局部有界

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，则 \(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 上局部有界。

由极限的有界性可得。

复合函数

引理

若 \(\lim g(x) = u_0\)，函数 \(f(u)\) 在 \(u_0\) 连续，则 \(\lim f(g(x)) = f(\lim g(x)) = f(u_0)\)。

注意这个引理和极限复合法则的区别。极限复合法则有一个限制条件：

\(\exists \delta > 0\) 当 \(x \in \mathring U_\delta(x_0)\) 时，\(g(x) \ne u_0\)。

这是为了保证让 \(u = g(x)\) 有一个靠近 \(u_0\) 的过程，才能保证外层 \(f(u)\) 取的是极限。

但是在这里，\(f(u)\) 是个连续函数，所以 \(f(u_0)\) 必有定义，而且 \(\lim f(u) = f(u_0)\)，那么有没有靠近的过程就无所谓了，等号始终成立。

剩下的证明过程和极限的复合法则相似。

对于任意 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0, x_n \in \mathring U(x_0)\)，有 \(\lim\limits_{n \to \infty} g(x_n) = u_0\)。

接下来，去除所有使得 \(g(x_n) = u_0\) 的 \(x_n\)，记去除部分为 \(z_n\)，剩下的为 \(y_n\)。

若剩下的数仍有无穷项，则 \(g(x_n)\) 的子列 \(g(y_n)\) 仍以 \(u_0\) 为极限，且 \(g(y_n) \in \mathring U(u_0)\)。由 Heine 定理，有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(y_n)) = f(u_0)\)。

若去除的部分有无穷项，则 \(g(x_n)\) 的子列 \(g(z_n) \equiv u_0\)，则必有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(z_n)) = f(u_0)\)。

所以 \(f(g(x_n))\) 的两个子列极限都是 \(f(u_0)\)。注意到上述两个子列 \(f(g(y_n)), f(g(z_n))\) 不可能都不存在，并且如果其中一个是有限项则不会影响原数列 \(f(g(x_n))\) 的极限。那么根据数列的归并原理，\(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(x_n)) = \lim\limits_{n \to \infty} f(g(y_n)) = \lim\limits_{n \to \infty} f(g(z_n)) = f(u_0)\)。

所以，对于任意 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0, x_n \in \mathring U(x_0)\)，有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(x_n)) = f(u_0)\)，则由 Heine 定理， \(\lim\limits_{x \to x_0}f(g(x)) = f(u_0)\)。

此性质说明，当 \(f(x)\) 是连续函数时，可以将括号外的极限符号放到括号里去。

复合函数的连续性

若 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，\(f(u)\) 在 \(u_0 = g(x_0)\) 处连续，则 \(f(g(x))\) 在 \(x_0\) 处连续。

由连续的定义，得到：\(\lim\limits_{u \to u_0}f(u) = f(u_0)\)，\(\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = g(x_0) = u_0\)。

由引理，\(\lim\limits_{x \to x_0}f(g(x)) = f(u_0)\)，又因为 \(f(g(x_0)) = f(u_0)\)，所以 \(f(g(x))\) 在 \(x_0\) 处连续。

幂指函数

设 \(f, g\) 是 \(A\) 上的两个函数，若 \(\forall x \in A,f(x) > 0\)，则形如 \(f(x)^{g(x)}\) 的函数叫幂指函数。

我们容易发现，\(f(x)^{g(x)} = \exp(g(x) \ln f(x))\)。

不难验证 \(\exp, \ln\) 都是连续函数，则当 \(f,g\) 是连续函数时，\(f(x)^{g(x)}\) 也是连续函数。有：\(\lim \left(f(x)^{g(x)}\right) = \left(\lim f(x)\right)^{\left(\lim g(x)\right)}\)。

初等函数

在这里，我们略过基本初等函数在定义域上都连续的证明，因为其过于冗长，没有新意。

综合上述证明，我们可以得到：一切初等函数在其定义域的任意区间上都连续。

回顾连续的定义，在区间内连续的意思是：在区间内部处处连续，在区间的闭端点单侧连续。

有界性

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。

使用反证法：如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上无界，则对于 \([a,\frac{a+b}{2}], [\frac{a + b}{2},b]\)，\(f(x)\) 至少在一个区间上无界。

则可以构造一个闭区间套 \(\{[a_n, b_n]\}\)，使得 \(f(x)\) 在每个区间上都无界。由闭区间套定理，存在唯一 \(\xi\) 使得 \(\lim a_n = \lim b_n = \xi\)。由于 \(f(x)\) 在 \(\xi\) 上连续，则根据连续性的局部有界性，存在 \(U(\xi)\) 使得 \(f(x)\) 在 \(U(\xi)\) 内有界。与“在每个区间上都无界”矛盾。

所以 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。

注意必须是闭区间才能成立。比如 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 上连续，但无界。

最大值最小值定理

这个证明真是天才。

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有最值。

首先由于 \(f(x)\) 有界，因此必有上确界 \(\alpha = \sup f(x)\)，下确界 \(\beta = \inf f(x)\)。我们将说明 \(\exists \xi \in [a, b]\)，使得 \(f(\xi) = \alpha\)。下确界同理可证。

由上确界的定义，\(\forall n \in \mathbb N_+\)，必然存在 \(x_n \in [a,b]\)，使得 \(\alpha - \frac{1}{n}\le f(x_n) \le \alpha\)。

由于 \(x_n \in [a,b]\)，由 Weierstress 定理，必然存在一个子列 \(\xi_n\)，使得 \(\lim \xi_n = \xi\)。由于 \(\xi_n\) 是 \(x_n\) 的子列，所以 \(\xi_n\) 对应的 \(x\) 中标号大于 \(n\)，则 \(\alpha - \frac{1}{n}\le f(\xi_n) \le \alpha\)。

这样，考虑数列 \(f(\xi_n)\)，由夹逼定理知道 \(\lim f(\xi_n) = \alpha\)。又因为 \(f\) 的连续性，则 \(f(\lim \xi_n) = f(\xi) = \alpha\)。所以上确界能取到。

介值定理

为什么要提前讲，因为我不知道怎么在没有介值定理的情况下给出反函数的性质。

如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续且 \(f(a) \ne f(b)\)，则 \(\forall v \in \left(\min\{f(a), f(b)\}, \max\{f(a),f(b)\}\right)\)，\(\exists x \in (a,b)\)，使得 \(f(x) = v\)。

证明：不妨设 \(f(a) < f(b)\)。

取 \(m = \frac{a+b}{2}\)。若 \(f(m) = v\)，则 \(\exists x=m \in (a,b)\)，使得 \(f(x) = v\)。否则若 \(f(m) > v\)，则构造 \([a_1,b_1] = [a,m]\)；若 \(f(m) < v\)，构造 \([a_1,b_1] = [m, b]\)。

如此可以构造闭区间套 \([a_n, b_n]\)，使得 \(v \in (f(a_n), f(b_n))\)。设 \(\lim a_n = \lim b_n = \xi\)，由连续性和保序性得：\(f(\xi) = \lim f(a_n) \le v, f(\xi) = \lim f(b_n) \ge v\)，所以 \(f(\xi) = v\)。又因为 \(f(a) \ne v, f(b) \ne v\)，则 \(\exists x=\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(x) = v\)。

零点存在定理

若 \(f(x) \in C[a,b]\)，且 \(f(a)f(b) < 0\)，则 \(\exists \xi \in (a,b)\) 使得 \(f(\xi) = 0\)。

这是介值定理的一个特例，也即当 \(v = 0\) 时。

反函数

如果 \(f(x)\) 是连续函数并在区间 \(I\) 内反函数存在，则反函数 \(f^{-1}\) 也是连续函数。

引理

在区间 \(I\) 上连续并存在反函数的函数必然严格单调，且它的反函数也严格单调。

考虑反证法：假设存在 \(x_0,x_1,x_2 \in I\) 使得 \(x_0<x_1<x_2\)，\(f(x_2) < f(x_0) < f(x_1)\)。

令 \(v = \frac{f(x_1) + f(x_0)}{2}\)，显然 \(v \in (f(x_0), f(x_1))\)，\(v \in (f(x_2), f(x_1))\)。则由介值定理，在 \((x_0, x_1)\) 上存在 \(\xi_1\) 使得 \(f(\xi_1) = v\)，在 \((x_1,x_2)\) 上存在 \(\xi_2\) 使得 \(f(\xi_2) = v\)。那么 \(f\) 的反函数根本不存在！

所以假设错误，即 \(\forall x_0 < x_1 < x_2\)，\((f(x_0) - f(x_1))(f(x_0) - f(x_2)) > 0\)，即 \(f(x)\) 严格单调。

不妨假设函数严格增。那么，\(\forall y_1 > y_2\)，\(f^{-1}(y_1)> f^{-1}(y_2)\)，即 \(f^{-1}\) 单调增。

反函数的连续性

不妨假设 \(f,f^{-1}\) 单调增。对于 \(y_0 = f(x_0) \in I_y\)，\(\forall \epsilon > 0\)，设 \(y_1 = f(x_0 - \epsilon),y_2 = f(x_0 + \epsilon)\)。则由单调性，\(\forall y \in (y_1, y_2)\)，\(f^{-1}(y) \in (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon)\)。所以，取 \(\delta = \min(y_2 - y_0, y_0 - y_1)\)，则 \(\forall y \in U_\delta(y_0)\)，有 \(f^{-1}(y) = U_\epsilon(x_0)\)。说明 \(f^{-1}\) 连续。

注意上述区间要与 \(I\) 或 \(I_y\) 取交。如果 \(y_0\) 在 \(I_y\) 的边界，那么我们只考虑单侧的极限与连续。

一致连续

若 \(f(x) \in C(I)\)，\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x_0 \in I, \forall x \in U_\delta(x_0)\)，都有 \(|f(x) - f(x_0)| < \epsilon\)，则我们称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上一致连续。

换句话说，一致连续的意思是，存在一个收敛速度，使得每一点收敛到自身的速度都快于这个速度。即收敛速度有非零下界。此时 \(\delta\) 的取值只和 \(\epsilon\) 有关，和 \(x_0\) 无关。

闭区间一致连续

若 \(f(x) \in [a,b]\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必然一致连续。此即康托定理。

考虑反证法：假设 \(f(x)\) 不是一致连续，则 \(\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0\)，总有 \(x, x' \in [a,b]\)，满足 \(|x - x'| < \delta\) 但是 \(|f(x) - f(x')| \ge \epsilon\)。

取 \(\delta_n = \frac{1}{n}\)，构造 \(x_n, x'_n \in [a,b]\) 使得 \(|x_n - x'_n| < \delta\) 但是 \(|f(x_n) - f(x'_n)| \ge \epsilon\)。

由于 \(x_n \in [a,b]\)，则由 Weierstress 定理，必有收敛子列 \(\lim x_{n_k} = \xi\)。由于 \(x_{n_k} - \delta_{n_k} < x'_{n_k} < x_{n_k} + \delta_{n_k}\)，则由夹逼定理， \(\lim x'_{n_k} = \lim x_{n_k}\)。由连续性，\(\lim f(x_{n_k}) = \lim f(x'_{n_k})\)，这与 \(|f(x_n) - f(x'_n)| \ge \epsilon\) 矛盾。所以假设不成立，原函数 \(f(x)\) 必然一致连续。

这个证明和最大值最小值定理的证明思想高度相似，都是反证法、构造数列、利用闭区间 Weierstress 定理构造收敛子列、说明矛盾。

几何意义

一条一致连续函数的曲线可以用一系列 \(\epsilon \times 2\delta\) 的矩形纸片覆盖住。

压缩映射

如果 \(\forall x, y \in\mathbb R\)，\(|f(x) - f(y)| \le k|x - y|\)，其中 \(k \in (0, 1)\)，那么称 \(f\) 是一个压缩映射。

压缩映射原理

如果 \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) 是一个压缩映射，那么 \(f\) 有且仅有一个不动点。即有且仅有一个 \(x \in \mathbb R\) 满足 \(f(x) = x\)。

任取 \(x_0 \in \mathbb R\)，构造迭代数列 \(x_{n+1} = f(x_n)\)。则 \(|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| \le k |x_{n-1} - x_{n-2}| \le k^2|x_{n-2} - x_{n-3}| \le \cdots \le k^{n}|x_1 - x_0|\)。

那么，任取 \(x_n\) 与 \(x_{n+p}\)，\(|x_n - x_{n+p}| \le |x_1 - x_0| \sum_{i = n+1}^{n+p}k^{i-1} \le |x_1 - x_0|\frac{k^n}{1 - k}\)。

这样，\(\forall \epsilon > 0\)，取 \(N\) 使得 \(|x_1 - x_0|\frac{k^N}{1 - k} < \epsilon\)，即 \(N = \lceil\log_k \frac{(1-k)\epsilon}{|x_1 - x_0|}\rceil\)，那么 \(\forall n > N\)，\(|x_1 - x_0|\frac{k^n}{1 - k} < \epsilon\)。则 \(\{x_n\}\) 是柯西序列，必收敛到唯一极限。不妨设极限为 \(\xi\)，那么 \(f(\xi) = \xi\)，即有一个不动点。

最后若还有另一不动点 \(\xi' \ne \xi\)，则 \(|f(\xi') - f(\xi)| = |\xi' - \xi| > k|\xi' - \xi|\)，矛盾。

所以有且仅有一个不动点。

祝大家国庆快乐