数学分析1-9

连续

若 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 上有定义，$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\to f(x_0)$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

等价条件

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充要条件为：$\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }ϵ>0$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in U_{ϵ}(x_0)$，$|f(x)-f(x_0)|<\delta$。

左连续与右连续

若 $f(x)$ 在 $U(x_0^{-})$ 上有定义，$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\to f(x_0)$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续。即 $\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }ϵ>0$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in [x_0,x_0+\delta )$，$|f(x)-f(x_0)|<\delta$。

同理可定义右连续。

连续的等价条件为同时左连续和右连续。

连续函数

如果 $f(x)$ 在开区间 $I$ 上的每一点连续，则 $f(x)$ 是 $I$ 上的连续函数。

如果 $f(x)$ 在闭区间 $I$ 内部处处连续，并在左端点右连续，右端点左连续，则 $f(x)$ 是 $I$ 上的连续函数。

半开半闭区间同理。

我们将区间 $I$ 上所有的连续函数构成的集合记作 $C(I)$。则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续就是 $f(x)\in C(I)$。

e.g.

对于 $\sin x$，任取 $x_0\in \mathbb{R}$，则 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sin (x+\mathrm{\Delta }x)=lim(\sin x\cos \mathrm{\Delta }x+\cos x\sin \mathrm{\Delta }x)$。

对于 $\sin x\cos \mathrm{\Delta }x$，其极限为 $\sin x$。

对于 $\cos x\sin \mathrm{\Delta }x$，有 $0\le |\cos x\sin \mathrm{\Delta }x|\le |\sin \mathrm{\Delta }x|$，由夹逼定理知道 $lim\cos x\sin \mathrm{\Delta }x=0$。

综上，$lim\sin (x+\mathrm{\Delta }x)=\sin x$，即 $\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

间断点

函数上不连续的点叫做间断点。

跳跃间断点

如果 $x_0$ 处的左、右极限都存在，但 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点。

可去间断点

如果 $x_0$ 处的极限存在，但是 $f(x_0)$ 不等于极限或不存在。此时可以改变 $f(x_0)$ 的定义，使得 $f(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$。称 $x_0$ 为 $f(x_0)$ 的可去间断点。改变后的函数在 $x_0$ 处连续。

以上两类统称第一类间断点，因为左右极限均存在。

无穷间断点

若 $x_0$ 处的某个单侧发散到无穷，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点。

震荡间断点

对于 $x_0$ 处的某个单侧极限，若 $\mathrm{\exists }M>0$，使得 $f(x)$ 在大于 $M$ 和小于 $-M$ 两处震荡无穷次，则 $x$ 称为 $f(x)$ 的震荡间断点。