数学分析1-9

连续

若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 上有定义，\(\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x) \to f(x_0)\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。

等价条件

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续的充要条件为：\(\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0\) 使得 \(\forall x \in U_{\epsilon}(x_0)\)，\(|f(x) - f(x_0)| < \delta\)。

左连续与右连续

若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0^-)\) 上有定义，\(\lim_{\Delta x \to 0^-} f(x_0 + \Delta x) \to f(x_0)\)，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处左连续。即 \(\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0\) 使得 \(\forall x \in [x_0, x_0 + \delta)\)，\(|f(x) - f(x_0)| < \delta\)。

同理可定义右连续。

连续的等价条件为同时左连续和右连续。

连续函数

如果 \(f(x)\) 在开区间 \(I\) 上的每一点连续，则 \(f(x)\) 是 \(I\) 上的连续函数。

如果 \(f(x)\) 在闭区间 \(I\) 内部处处连续，并在左端点右连续，右端点左连续，则 \(f(x)\) 是 \(I\) 上的连续函数。

半开半闭区间同理。

我们将区间 \(I\) 上所有的连续函数构成的集合记作 \(C(I)\)。则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续就是 \(f(x) \in C(I)\)。

e.g.

对于 \(\sin x\)，任取 \(x_0 \in \mathbb R\)，则 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sin (x + \Delta x) = \lim (\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x)\)。

对于 \(\sin x \cos \Delta x\)，其极限为 \(\sin x\)。

对于 \(\cos x \sin \Delta x\)，有 \(0 \le |\cos x \sin \Delta x| \le |\sin \Delta x|\)，由夹逼定理知道 \(\lim \cos x \sin \Delta x = 0\)。

综上，\(\lim \sin (x + \Delta x) = \sin x\)，即 \(\sin x\) 在 \(\mathbb R\) 上连续。

间断点

函数上不连续的点叫做间断点。

跳跃间断点

如果 \(x_0\) 处的左、右极限都存在，但 \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)\)，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的跳跃间断点。

可去间断点

如果 \(x_0\) 处的极限存在，但是 \(f(x_0)\) 不等于极限或不存在。此时可以改变 \(f(x_0)\) 的定义，使得 \(f(x_0) = \lim_{x \to x_0}f(x)\)。称 \(x_0\) 为 \(f(x_0)\) 的可去间断点。改变后的函数在 \(x_0\) 处连续。

以上两类统称第一类间断点，因为左右极限均存在。

无穷间断点

若 \(x_0\) 处的某个单侧发散到无穷，则称 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的无穷间断点。

震荡间断点

对于 \(x_0\) 处的某个单侧极限，若 \(\exists M > 0\)，使得 \(f(x)\) 在大于 \(M\) 和小于 \(-M\) 两处震荡无穷次，则 \(x\) 称为 \(f(x)\) 的震荡间断点。