数学分析1-10
连续函数的性质
四则运算
若 \(f(x), g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续：则 \(f(x)\pm g(x),f(x)g(x), \frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x) \ne 0\)）均是连续函数。
由极限的运算法则可得。
局部有界
若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，则 \(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 上局部有界。
由极限的有界性可得。
复合函数
引理
若 \(\lim g(x) = u_0\)，函数 \(f(u)\) 在 \(u_0\) 连续，则 \(\lim f(g(x)) = f(\lim g(x)) = f(u_0)\)。
注意这个引理和极限复合法则的区别。极限复合法则有一个限制条件：
\(\exists \delta > 0\) 当 \(x \in \mathring U_\delta(x_0)\) 时，\(g(x) \ne u_0\)。
这是为了保证让 \(u = g(x)\) 有一个靠近 \(u_0\) 的过程，才能保证外层 \(f(u)\) 取的是极限。
但是在这里，\(f(u)\) 是个连续函数，所以 \(f(u_0)\) 必有定义，而且 \(\lim f(u) = f(u_0)\)，那么有没有靠近的过程就无所谓了，等号始终成立。
剩下的证明过程和极限的复合法则相似。
对于任意 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0, x_n \in \mathring U(x_0)\)，有 \(\lim\limits_{n \to \infty} g(x_n) = u_0\)。
接下来，去除所有使得 \(g(x_n) = u_0\) 的 \(x_n\)，记去除部分为 \(z_n\)，剩下的为 \(y_n\)。
若剩下的数仍有无穷项，则 \(g(x_n)\) 的子列 \(g(y_n)\) 仍以 \(u_0\) 为极限，且 \(g(y_n) \in \mathring U(u_0)\)。由 Heine 定理，有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(y_n)) = f(u_0)\)。
若去除的部分有无穷项，则 \(g(x_n)\) 的子列 \(g(z_n) \equiv u_0\)，则必有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(z_n)) = f(u_0)\)。
所以 \(f(g(x_n))\) 的两个子列极限都是 \(f(u_0)\)。注意到上述两个子列 \(f(g(y_n)), f(g(z_n))\) 不可能都不存在，并且如果其中一个是有限项则不会影响原数列 \(f(g(x_n))\) 的极限。那么根据数列的归并原理，\(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(x_n)) = \lim\limits_{n \to \infty} f(g(y_n)) = \lim\limits_{n \to \infty} f(g(z_n)) = f(u_0)\)。
所以，对于任意 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0, x_n \in \mathring U(x_0)\)，有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(g(x_n)) = f(u_0)\)，则由 Heine 定理， \(\lim\limits_{x \to x_0}f(g(x)) = f(u_0)\)。
此性质说明，当 \(f(x)\) 是连续函数时，可以将括号外的极限符号放到括号里去。
复合函数的连续性
若 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，\(f(u)\) 在 \(u_0 = g(x_0)\) 处连续，则 \(f(g(x))\) 在 \(x_0\) 处连续。
由连续的定义，得到：\(\lim\limits_{u \to u_0}f(u) = f(u_0)\)，\(\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = g(x_0) = u_0\)。
由引理，\(\lim\limits_{x \to x_0}f(g(x)) = f(u_0)\)，又因为 \(f(g(x_0)) = f(u_0)\)，所以 \(f(g(x))\) 在 \(x_0\) 处连续。
介值定理
为什么要提前讲，因为我不知道怎么在没有介值定理的情况下给出反函数的性质。
如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续且 \(f(a) \ne f(b)\)，则 \(\forall v \in \left(\min\{f(a), f(b)\}, \max\{f(a),f(b)\}\right)\)，\(\exists x \in (a,b)\)，使得 \(f(x) = v\)。
证明：不妨设 \(f(a) < f(b)\)。
取 \(m = \frac{a+b}{2}\)。若 \(f(m) = v\)，则 \(\exists x=m \in (a,b)\)，使得 \(f(x) = v\)。否则若 \(f(m) > v\)，则构造 \([a_1,b_1] = [a,m]\)；若 \(f(m) < v\)，构造 \([a_1,b_1] = [m, b]\)。
如此可以构造闭区间套 \([a_n, b_n]\)，使得 \(v \in (f(a_n), f(b_n))\)。设 \(\lim a_n = \lim b_n = \xi\)，由连续性和保序性得：\(f(\xi) = \lim f(a_n) \le v, f(\xi) = \lim f(b_n) \ge v\)，所以 \(f(\xi) = v\)。又因为 \(f(a) \ne v, f(b) \ne v\)，则 \(\exists x=\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(x) = v\)。
反函数
如果 \(f(x)\) 是连续函数并在区间 \(I\) 内反函数存在，则反函数 \(f^{-1}\) 也是连续函数。
引理
在区间 \(I\) 上连续并存在反函数的函数必然严格单调，且它的反函数也严格单调。
考虑反证法：假设存在 \(x_0,x_1,x_2 \in I\) 使得 \(x_0<x_1<x_2\)，\(f(x_2) < f(x_0) < f(x_1)\)。
令 \(v = \frac{f(x_1) + f(x_0)}{2}\)，显然 \(v \in (f(x_0), f(x_1))\)，\(v \in (f(x_2), f(x_1))\)。则由介值定理，在 \((x_0, x_1)\) 上存在 \(\xi_1\) 使得 \(f(\xi_1) = v\)，在 \((x_1,x_2)\) 上存在 \(\xi_2\) 使得 \(f(\xi_2) = v\)。那么 \(f\) 的反函数根本不存在！
所以假设错误，即 \(\forall x_0 < x_1 < x_2\)，\((f(x_0) - f(x_1))(f(x_0) - f(x_2)) > 0\)，即 \(f(x)\) 严格单调。
不妨假设函数严格增。那么，\(\forall y_1 > y_2\)，\(f^{-1}(y_1)> f^{-1}(y_2)\)，即 \(f^{-1}\) 单调增。
反函数的连续性
不妨假设 \(f,f^{-1}\) 单调增。对于 \(y_0 = f(x_0) \in I_y\)，\(\forall \epsilon > 0\)，设 \(y_1 = f(x_0 - \epsilon),y_2 = f(x_0 + \epsilon)\)。则由单调性，\(\forall y \in (y_1, y_2)\)，\(f^{-1}(y) \in (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon)\)。所以，取 \(\delta = \min(y_2 - y_0, y_0 - y_1)\)，则 \(\forall y \in U_\delta(y_0)\)，有 \(f^{-1}(y) = U_\epsilon(x_0)\)。说明 \(f^{-1}\) 连续。
注意上述区间要与 \(I\) 或 \(I_y\) 取交。如果 \(y_0\) 在 \(I_y\) 的边界，那么我们只考虑单侧的极限与连续。
幂指函数
设 \(f, g\) 是 \(A\) 上的两个函数，若 \(\forall x \in A,f(x) > 0\)，则形如 \(f(x)^{g(x)}\) 的函数叫幂指函数。
我们容易发现，\(f(x)^{g(x)} = \exp(g(x) \ln f(x))\)。
不难验证 \(\exp, \ln\) 都是连续函数，则当 \(f,g\) 是连续函数时，\(f(x)^{g(x)}\) 也是连续函数。有：\(\lim \left(f(x)^{g(x)}\right) = \left(\lim f(x)\right)^{\left(\lim g(x)\right)}\)。
初等函数
在这里，我们略过基本初等函数在定义域上都连续的证明，因为其过于冗长，没有新意。
综合上述证明，我们可以得到：一切初等函数在其定义域的任意区间上都连续。
回顾连续的定义，在区间内连续的意思是：在区间内部处处连续，在区间的闭端点单侧连续。
有界性
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。
使用反证法：如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上无界，则对于 \([a,\frac{a+b}{2}], [\frac{a + b}{2},b]\)，\(f(x)\) 至少在一个区间上无界。
则可以构造一个闭区间套 \(\{[a_n, b_n]\}\)，使得 \(f(x)\) 在每个区间上都无界。由闭区间套定理，存在唯一 \(\xi\) 使得 \(\lim a_n = \lim b_n = \xi\)。由于 \(f(x)\) 在 \(\xi\) 上连续，则根据连续性的局部有界性，存在 \(U(\xi)\) 使得 \(f(x)\) 在 \(U(\xi)\) 内有界。与“在每个区间上都无界”矛盾。
所以 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。
注意必须是闭区间才能成立。比如 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 上连续，但无界。
最大值最小值定理
这个证明真是天才。
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有最值。
首先由于 \(f(x)\) 有界，因此必有上确界 \(\alpha = \sup f(x)\)，下确界 \(\beta = \inf f(x)\)。我们将说明 \(\exists \xi \in [a, b]\)，使得 \(f(\xi) = \alpha\)。下确界同理可证。
由上确界的定义，\(\forall n \in \mathbb N_+\)，必然存在 \(x_n \in [a,b]\)，使得 \(\alpha - \frac{1}{n}\le f(x_n) \le \alpha\)。
由于 \(x_n \in [a,b]\)，由 Weierstress 定理，必然存在一个子列 \(\xi_n\)，使得 \(\lim \xi_n = \xi\)。由于 \(\xi_n\) 是 \(x_n\) 的子列，所以 \(\xi_n\) 对应的 \(x\) 中标号大于 \(n\)，则 \(\alpha - \frac{1}{n}\le f(\xi_n) \le \alpha\)。
这样，考虑数列 \(f(\xi_n)\)，由夹逼定理知道 \(\lim f(\xi_n) = \alpha\)。又因为 \(f\) 的连续性，则 \(f(\lim \xi_n) = f(\xi) = \alpha\)。所以上确界能取到。