线性代数2-3

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子矩阵

由矩阵 \(A\) 的若干行和若干列的交叉元素构成的矩阵称为 \(A\) 的子矩阵。

前主子矩阵

矩阵 \(A\) 的前 \(i\) 行前 \(i\) 列构成的子矩阵被称为 \(A\) 的前主子矩阵。

分块矩阵

将矩阵 \(A\) 用若干条横线和纵线分成若干子矩阵，称 \(A\) 为分块矩阵。

如 \(A = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}\)。

特别地，若将 \(A\) 的 \(m\) 行均分成块，称为 \(A\) 的按行分块。同理有按列分块。

运算法则

假设 \(A,B\) 是同型矩阵，并且采用相同的分块法，则：

\[ \begin{aligned} A+B &= \begin{bmatrix}A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r} + B_{1r}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr} + B_{sr}\end{bmatrix} \\ \lambda A &= \begin{bmatrix}\lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1r}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda A_{s1} & \cdots & \lambda A_{sr}\end{bmatrix} \\ A^\text T &= \begin{bmatrix}A_{11}^\text T & \cdots & A_{s1}^\text T\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1r}^\text T & \cdots & A_{sr}^\text T\end{bmatrix} \end{aligned} \]

假设 \(A,B\) 分别分成 \(s \times t,t \times r\) 块，且有 \(\forall i,j,k\)，\(A_{ik}\) 的列数等于 \(B_{kj}\) 的行数。

则 \(A,B\) 可相乘，有：

\[ AB = \begin{bmatrix}\sum{A_{1k}B_{k1}} & \cdots & \sum{A_{1k}B_{kr}}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum{A_{sk}B_{k1}} & \cdots & \sum{A_{sk}B_{kr}}\end{bmatrix} \]

蕴含性质

\(AB\) 的第 \(i\) 列是 \(A\) 乘 \(B\) 的第 \(i\) 列。（从矩阵乘法的定义也可看出）。

准对角阵

如果方阵 \(A\) 的分块矩阵只有对角线块非零，则 \(A\) 是一个准对角阵。不妨记作 \(A = \operatorname{diag}(A_1,\cdots,A_r)\)。

性质

  • \(\det A = \prod_{i=1}^r \det A_i\)。
  • 若 \(\det A \ne 0\)，则 \(A^{-1} = \operatorname{diag}(A_1^{-1}, \cdots, A_r^{-1})\)。

初等变换

初等行变换

  • 互换第 \(i\) 行和第 \(j\) 行，记作 \(r_{ij}\)。
  • 数乘某一行，记作 \(r_i(k)\)。
  • 将第 \(i\) 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行上，记作 \(r_{ij}(k)\)。

初等列变换

  • 互换第 \(i\) 列和第 \(j\) 列，记作 \(c_{ij}\)。
  • （非零）数乘某一列，记作 \(c_i(k)\)。
  • 将第 \(i\) 列的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 列上，记作 \(c_{ij}(k)\)。

等价

若 \(A,B\) 经过有限次行变换可以互相转化，则 \(A,B\) 行等价。同理有列等价。

若 \(A,B\) 经过有限次初等变换可以互相转化，则 \(A,B\) 等价，记作 \(A \cong B\)。

性质

  • 自反性：\(A \cong A\)。
  • 对称性：\(A \cong B \Leftrightarrow B \cong A\)。
  • 传递性：\(A \cong B, B \cong C \Rightarrow A \cong C\)。

初等矩阵

单位矩阵 \(I\) 进行一次初等变换后得到的矩阵称作初等矩阵。

有几个有趣的性质：

  • \(c_{ij}(I) = r_{ij}(I)\)
  • \(c_{ji}(k)(I) = r_{ij}(k)(I)\)
  • \(c_i(k)(I) = r_i(k)(I)\)

所以本质不同的初等矩阵只有三种：不妨如下记：

  • \(I \xrightarrow{r_i(k)/c_i(k)}P_i(k)\)
  • \(I \xrightarrow{r_{ij}(k)/c_{ji}(k)}P_{ij}(k)\)
  • \(I \xrightarrow{r_{ij}/c_{ij}}P_{ij}\)

有什么用呢？

若 \(P\) 是 \(I\) 进行一次初等行变换的结果，则用 \(P\) 左乘任意矩阵 \(A\)，相当于将 \(A\) 进行一次相同的初等行变换。即 \(A \xrightarrow{r} PA\)。

同样地，若 \(P\) 是 \(I\) 进行一次初等列变换的结果，则用 \(P\) 右乘任意矩阵 \(A\)，相当于将 \(A\) 进行一次相同的初等列变换。即 \(A \xrightarrow{c} AP\)。

这样一来，就可以用初等矩阵的乘法来代表初等变换。如果 \(A\) 经过若干次初等变换得到 \(B\)，相当于存在初等矩阵 \(P_1, \cdots, P_s\)，\(Q_1, \cdots, Q_t\)，使得：

\[ \left(\prod_{i=1}^{s} P_{s - i+1}\right)A\left(\prod_{i=1}^tQ_i\right) \]

不妨记 \(P = \prod_{i=1}^{s} P_{s - i+1}\), \(Q = \prod_{i=1}^{s} Q_i\)

由于初等变换矩阵都是可逆矩阵（数乘非零，行列式不变），所以 \(P,Q\) 可逆。

即 \(PAQ = B\)。