数学分析1-8
无穷小量
当 \(x \to x_0\) 时，若 \(y \to 0\)，则 \(y\) 称为 \(x \to x_0\) 时的无穷小量。
无穷小与极限
\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v \Leftrightarrow f(x) = v + o(x)\)。其中 \(o(x)\) 是 \(x \to x_0\) 时的无穷小。
两个方向的证明都基于有理运算法则。一个是证明 \(o(x) \to 0\)，一个是证明 \(f(x) \to a\)。
运算性质
- 在自变量同一变化过程中，有限个无穷小量的代数和或乘积仍然是无穷小量。由有理运算法则自然得到。
- 在自变量同一变化过程中，局部有界函数和无穷小量的乘积仍是为无穷小量。设 \(x \in \mathring{U}(x_0),|u(x)| \le M\)，\(o(x) \to 0\) 则 \(|o(x)u(x)| \le M|o(x)| \to 0\)。
无穷小的阶
设 \(\alpha, \beta\) 是在自变量同一变化过程中的两个无穷小。且 \(\alpha \ne 0\)：
考虑 \(\gamma = \frac{\beta}{\alpha}\)。若 \(\lim \gamma = 0\)，称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小；若 \(\lim \gamma\) 为常数，称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的同阶无穷小，特别地，若 \(\lim \gamma = 1\)，则称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的等价无穷小；若 \(\lim \gamma = \infty\)，则称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的低阶无穷小。
特别地，若 \(\lim \frac{\beta}{\alpha^x}\)，则 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。
常见的等价无穷小
\(x \to 0\) 时：
\[ \begin{aligned} \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x &\sim x \\ \ln(x + 1) \sim e^x - 1 &\sim x\\ 1 - \cos x &\sim \frac{1}{2}x^2\\ \sqrt[n]{1+x} -1 &\sim \frac 1n x \end{aligned} \]
第一行证明基于 \(\lim \frac{\sin x}{x} = 1\)。以 \(\arcsin x\) 为例：
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = \lim_{\arcsin x \to 0}\frac{\arcsin x}{\sin \arcsin x} = 1 \]
第二行证明实际基于
等价无穷小的条件
\[ \lim\frac{\beta}{\alpha} = 1 \Leftrightarrow \lim \frac{\beta-\alpha}{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \beta - \alpha = o(\alpha) \]
说明 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的充要条件是 \(\beta = \alpha + o(\alpha)\)。
无穷小的等价代换
在自变量同一变化过程中，若 \(\alpha \sim \alpha'\)，\(\beta \sim \beta'\) 且 \(\lim \frac{\beta'}{\alpha'}\) 存在，则：
\[ \lim\frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta}{\beta'}\frac{\beta'}{\alpha'}\frac{\alpha'}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'} \]
此为乘除代换。
若想要进行加减代换，一个充分条件是：
\[ \lim \frac{\beta}{\alpha} = c \ne \pm 1 \Rightarrow \lim \frac{\beta \mp \alpha}{\beta'\mp\alpha'} = 1 \]
证明比较类似糖水原理？
以 \(\beta+\alpha\) 为例，若 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \ne -1\)：
\[ \lim \frac{\beta+\alpha}{\beta'+\alpha'} = \lim \frac{\alpha'}{\alpha}\frac{\frac{\beta}{\alpha} + 1}{\frac{\beta'}{\alpha'} + 1} = \frac{c+1}{c+1} = 1 \]
无穷大量
当 \(x \to x_0\) 时，若 \(y \to \infty\)，则 \(y\) 称为 \(x \to x_0\) 时的无穷大量。
特别地，若 \(y \to \pm \infty\)，我们分别称 \(y\) 为 \(x \to x_0\) 时的正（负）无穷大。
与无穷小量的关系
在自变量同一变化过程下：
- 若 \(f(x) \to \infty\)，则 \(\frac 1{f(x)} \to 0\)。
- 若 \(f(x) \to 0, f(x) \ne 0\)，则 \(\frac 1{f(x)} \to \infty\)。
这说明关于无穷大的问题都可以转化为关于无穷小的问题。
证明使用极限的定理。有些 trival。
运算性质
- 有限个无穷大量的乘积是无穷大量。
- 有界量和无穷大量的和是无穷大量。
- 注意因为无穷大包含正负，所以相加后不一定是无穷大量。