线性代数1-4

发表于 2024-09-24 分类于数学阅读次数：

对称矩阵

关于主对角线对称的矩阵叫对称阵，即 \(A = A^\text T\)。

对称矩阵有很多很棒的性质，比如可以对角化。

对称实矩阵的特征值都是实数。

对称矩阵的线性组合仍然是对称矩阵。

对称矩阵 \(AB\) 的乘积是对称阵当且仅当 \(AB=BA\)。

证明：\((AB)^\text T = AB \Leftrightarrow B^\text T A^\text T = AB \Leftrightarrow BA = AB\)。

反对称阵

满足 \(A^\text T = -A\) 的矩阵叫反对称阵。显然，反对称阵的主对角线为 0。

对称阵 \(A\) 与反对称阵 \(B\) 的乘积 \(AB\) 是反对称阵当且仅当 \(AB = BA\)。

反对称实矩阵的特征值都是纯虚数。

证明：\((AB)^\text T = -AB \Leftrightarrow B^\text T A^\text T = -AB \Leftrightarrow -BA = -AB\)。

反对称阵线性组合仍然是反对称矩阵。

方阵的行列式

~~这奇怪的定义顺序~~

完全不知道这里还要写什么。

注意只有方阵有行列式。

运算法则

\(\det A^\text T = \det A\)
\(\det (\lambda A) = \lambda^n \det A\)
\(\det (AB) = \det A \det B\)。证明：构造 \(D = \begin{bmatrix}A & \\ -I & B\end{bmatrix}\)，则 \(\det D = \det A \det B\)， \(\det D = \det \begin{bmatrix}& AB \\ -I & B\end{bmatrix} = \det (AB\))。
\(\det (A+B) \ne \det A \det B\)

逆矩阵

对于 \(n\) 阶方阵，若存在 \(n\) 阶方阵 \(B\) 满足 \(AB = BA = I\)，则称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B = A^{-1}\)。

性质

若 \(A^{-1}\) 存在，则 \(\det A \ne 0\)。显然，因为 \(\det A \det A^{-1} = 1\)。
若 \(A^{-1}\) 存在，则 \(A^{-1}\) 唯一。假设有两个逆矩阵 \(B,C\)，则 \(B = B(AC) = (BA)C = C\)。
若 \(A^{-1}\) 存在，则 \((A^\text T)^{-1}\) 存在，\((A^\text T)^{-1} = (A^{-1})^T\)。证明：\(A^\text T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^\text T = I\)。
若 \(A^{-1}\) 存在，\((\lambda A)^{-1} = \frac{A^{-1}}{\lambda}\)
若 \(A^{-1},B^{-1}\) 存在，则 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。证明简单，使用结合律。

伴随矩阵

方阵 \(A\) 的伴随矩阵是各元素代数余子式构成矩阵的转置，记作 \(A^*\)。

有如下性质：\(AA^* = A^*A = (\det A)I\)。

证明也不难：

考虑 \(A\) 的第一行 \(u_1\)。\(u_1\) 与 \(A^*\) 的第一列的内积就是 \(\det A\) 按行展开，而 \(u_1\) 与 \(A^*\) 其他列的乘积为 0（这个性质在行列式的性质中证过，简单来说和第 \(i\) 列相乘相当于把 \(A\) 的第 \(i\) 行换成第一行之后求行列式，有两行相等的矩阵行列式为 0）。所以 \(u_1A^* = \det A\)。

同理其他行乘 \(A^*\) 也是 \(\det A\)。

所以 \(AA^* = (\det A)I\)。

同理可证 \(A^*A = (\det A)I\)。

这下我们自然得到：\(\det A \ne 0 \Rightarrow A^{-1} = \frac{A^*}{\det A}\)，又因为上面证明了 \(A^{-1}\) 存在 \(\Rightarrow \det A \ne 0\)。所以综上，\(A\) 可逆的充要条件是 \(\det A \ne 0\)。且有 \(A^{-1} = \frac{A^*}{\det A}\)。