数学分析1-7
两个重要极限
一个
我们已经在之前说明了一个重要极限：
\[ \lim_{n \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]
但是这是对于数列而言。能否推广到实数情况？即证：
\[ \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \]
分开来讨论。
\(x \to +\infty\)： \[ \left(1 + \frac{1}{\lceil x \rceil}\right)^{\lfloor x\rfloor} \le \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \le \left(1 + \frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lceil x\rceil} \]
左右都是整数的情况，极限都是 \(e\)，由夹逼定理得证。
\(x \to -\infty\)： \[ \begin{aligned} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x &= \left(\frac{-x-1}{-x}\right)^{x} \\ &= \left(\frac{-x}{-x-1}\right)^{-x} \\ &= \left(1+\frac{1}{-x-1}\right)^{-x-1} \end{aligned} \]
由于 \(-x-1 \to +\infty\)，得证。
另一个
另一个重要极限如下：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \]
来考虑它的证明：从 \(\sin,\tan\) 的几何定义中，我们不难发现，在 \(x \in (0, \frac{\pi}{2})\)时，有：
\[ \begin{aligned} \sin(x) < x < \tan x \\ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \end{aligned} \]
立即想到使用夹逼法则。但是别急，我们还没有证明连续函数可以直接代入得到极限，所以没有证明 \(\lim \cos x = 1\)。也不难：\(|1 - \cos x| = \left|\frac{\sin^2 x}{2}\right| \le \frac{1}{2}x^2\)，我们取 \(\delta = \sqrt{2\epsilon}\) 得证 \(\lim (1 - \cos x) = 0\)，再用有理运算法则。
得到 \(\lim \frac{x}{\sin x} = 1\)。
同时还能有：\(\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x} = 1\)。
单调有界准则
无穷远处极限
设 \(f(x)\) 单调增有上界，则 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup f(x)\)。
证明：因为有上界，必有上确界。\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists x_0\) 使得 \(\sup f(x_0) \ge f(x_0) > \sup f(x) - \epsilon\)，又因为 \(f\) 单调增，所以当 \(x > x_0\) 时，\(f(x) \in U(\sup f(x))\)。即证 \(\lim_{x \to +\infty}f(x) = \sup f(x)\)。
同理可证 \(f(x)\) 单调减有下界时 \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \inf f(x)\)。
单侧极限
设 \(f(x)\) 是区间 \(I\) 上的单调函数，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 内每一点的单侧极限存在。
不妨假设 \(f(x)\) 单调增，\(\forall x_0 \in I\)，显然 \(x_0\) 必有左右邻域中的一个。若左邻域存在，则 \(f(x)\) 在左邻域内有上界 \(f(x_0)\)，则去心左邻域有上确界。用和上面相同的办法可证，左侧极限存在且等于左邻域上确界。
同理可知右邻域内右侧极限存在。
因为左右领域必有一个，所以单侧极限必然存在。
柯西收敛原理
和数列中相似：\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在的充要条件是：\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x_1, x_2 \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon\)。
充分性
考虑 \(\mathring U(x_0)\) 上收敛到 \(x_0\) 的任意两个数列 \(\{x_n\}, \{y_n\}\)，有 \(\forall \epsilon > 0\)， \(\exists N \in \mathbb Z_+\)，使得 \(\forall n > N, x_n,y_n \in U_\epsilon(x_0)\)。
这样，\(\forall i,j > N\)，\(|f(x_i) - f(x_j)| < \epsilon\)，\(|f(y_i) - f(y_j)| < \epsilon\)。所以 \(\{f(x_n)\}, \{f(y_n)\}\) 都是柯西序列。
接下来是最妙的部分，我们构造数列 \(\{z_n\} = f(x_1), f(y_1), f(x_2), f(y_2), \cdots\)。有 \(\forall i,j > 2N\)，\(|z_i - z_j| < 2\epsilon\)，所以 \(\{z_n\}\) 也是柯西序列。既然 \(\{f(x_n)\}, \{f(y_n)\}\) 是它的两个子列，根据归并原理，他们必然收敛到统一极限！
所以我们证明，对于 \(\mathring U(x_0)\) 上收敛到 \(x_0\) 的任意两个数列，他们对应的函数值收敛到统一极限。由 Heine 定理，自然得到 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处收敛。
必要性
这个简单。
\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，有 \(|f(x) - \lim f(x)| < \frac{\epsilon}{2}\)。
则 \(\forall x_1, x_2 \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，有 \(|f(x_1) - f(x_2)| = |f(x_1) - \lim f(x) + \lim f(x) - f(x_2)| < \epsilon\)。