数学分析1-6
单侧极限
对于一些函数，可能无法用同一个表达式表达 \(\mathring U_\epsilon(x_0)\) 处的函数值。比如分段函数的转折点。求极限时，我们可以从 \(x_0\) 的左右两边分别求极限。
当 \(x\) 从左侧靠近 \(x_0\)，我们记作 \(x \to x_0^-\)；反之右侧记作 \(x \to x_0^+\)。
从左侧靠近时，我们将极限定义改造如下：
若 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\)，\(|f(x) - v| < \epsilon\)，则我们称 \(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = v\)。
右极限同理。
从定义出发，不难得到，如果函数在某处的左右极限存在且相等，等价于函数在该点极限存在，并与左右极限相等。
e.g
\(f(x) = \frac{x}{|x|}\)。当 \(x \to 0^+\)：\(f(x) = \frac{x}{x} = 1\)；当 \(x \to 0^-\)，\(f(x) = \frac{x}{-x} = -1\)。则左右极限存在但不相等，说明 \(f(x)\) 在 0 处的极限不存在。
函数极限与数列极限的关系
设 \(f: \mathring U(x_0) \to \mathbb R\)，对于 \(\mathring{U}(x_0)\) 中的任何收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\)，有数列 \(\{f(x_n)\}\)。
有如下定理：对于任何满足 \(\lim x_n = x_0\) 的数列有 \(\lim f(x_n) = v\) 的充要条件是 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v\)。
这就是Heine定理。
必要性
若 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v\)，则 \(\forall \epsilon >0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(\forall x \in \mathring U_\delta(x_0)\)，\(f(x) \in U_{\epsilon}(v)\)。
由于 \(\lim x_n = x_0\)，则存在 \(N \in \mathbb N_+\)，使得 \(\forall n > N\)，\(x_n \in \mathring U_\delta(x_0)\)。
综上，\(n > N\) 时，\(f(x_n) \in U_\epsilon(x_0)\)，即 \(\lim f(x_n) = v\)。
充分性
假设 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \ne v\)，则 \(\exists \epsilon > 0\)，\(\forall \delta > 0\)，\(\exists x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\)，使得 \(f(x) \notin U_\epsilon(v)\)。
不妨构造函数 \(x(\delta)\)，表示 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，让 \(f(x) \notin U_{\epsilon_0}(v)\) 的 \(x\)。
构造 \(\{(\delta_n, x_n)\} = \{(\min\{\frac{1}{n}, |x_{n-1} - x_0|\}, x(\delta_n))\}\)。显然，由于 \(\delta_n \le \frac{1}{n}\)，\(\lim \delta_n = 0\)。又由 \(x(\delta)\) 的定义，\(x_n - x_0 \in (-\delta_n, \delta_n)\)，则 \(\lim x_n = x_0\)。此时我们发现，\(\forall x_n, f(x_n) \notin U_{\epsilon_0}(v)\)，说明 \(f(x_n)\) 不收敛于 \(v\)，矛盾。
因此假设不成立。
逆否命题
显然我们无法通过验证不可数无穷多个数列来验证极限。所以 Heine 定理更大的作用是判断函数不收敛，即存在两个数列收敛于不同的极限。
极限的统一
数列是特殊的整标函数。所以我们之后统一研究数列和函数极限的性质。
有理运算法则：
若 \(\lim f(x) = a\)，\(\lim g(x) = b\)。
\[ \begin{aligned} \lim [f(x) \pm g(x)] &= \lim f(x) \pm g(x) = a \pm b \\ \lim [f(x)g(x)] &= \lim f(x) \lim g(x) = ab \\ \lim \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{a}{b}(b \ne 0) \end{aligned} \]
可复合有限次。
唯一性
若 \(\lim f(x)\) 存在，则极限唯一。否则假设有两个极限 \(a,b\)，则当 \(\epsilon = \frac{|a-b|}{2}\) 时，同时有 \(f(x) > \frac{a+b}{2}\) 和 \(f(x) < \frac{a+b}{2}\)，矛盾。
或者可以考虑归并原理：如果 \(\lim f(x)\) 存在，则任意子列既收敛于 \(a\)，又收敛于 \(b\)，与数列极限的唯一性矛盾。
局部有界性
如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v\)，则 \(\exists \delta > 0\), \(f(x)\) 在 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时是有界的。
比如取 \(\epsilon = 1\)，则 \(f(x)\) 在 \(\mathring{U}_{\delta}(x_0)\) 内有上界 \(v + 1\)，下界 \(v-1\)，此即局部有界。
局部保号性
如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = v \ne 0\)，则 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，\(f(x)v > 0\)。
证明取 \(\epsilon = \frac{|v|}{2}\)。
局部保序性
若 \(\lim f(x) = a, \lim g(x) = b\)，则 \(a \le b\) 的充要条件为 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，\(f(x) \le g(x)\)。
必要性证明取 \(\epsilon = \frac{b-a}{2}\)。
充分性证明直接用定义。
同时注意等号。
夹逼性
设 \(\lim f(x) = \lim h(x) = v\)。
若 \(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0)\) 时，\(f(x) \le g(x) \le h(x)\)，则 \(\lim g(x) = v\)。
证明容易：一种是 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta_1, \delta_2 > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_{\delta_1}(x_0)\) 时，\(f(x) \in U_\epsilon(v)\)；\(x \in \mathring{U}_{\delta_2}(x_0)\) 时，\(h(x) \in U_\epsilon(v)\)。则取 \(\delta' = \min\{\delta, \delta_1, \delta_2\}\)，当 \(x \in \mathring{U}_{\delta'}(x_0)\) 时，\(g(x) \in U_\epsilon(v)\)。所以 \(\lim g(x) = v\)。
另一种思路是归并原理。对于任意 \(\{x_n\}\) 满足 \(\lim x_n = x_0\)，都有 \(f(x_n) \le g(x_n) \le h(x_n)\)，由数列的夹逼准则得到 \(\lim g(x_n) = v\)。由于此性质对所有 \(\{x_n\}\) 都成立，所以由归并原理得到 \(\lim g(x) = v\)。
复合法则
设 \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)。
若 \(\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = u_0\)，\(\lim\limits_{u \to u_0} f(u) = v\)，则 \(\lim\limits_{x \to x_0}(f \circ g)(x) = v\)。注意前两个极限要都存在。
使用归并原理证明比较简单：对于任意 \(\lim x_n = x_0\)，有 \(\lim g(x_n) = u_0\)，则有 \(\lim f(g(x_n)) = v\)。根据 Heine 定理，自然得到 \(\lim (f \circ g)(x) = v\)。