数学分析1-5
例题
1
求 \(\lim\frac{a^n}{n!}\)：
当 \(a > 0\)：
\(\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a}{n+1}\)，当 \(n > a\) 时，\(x_n\) 单调递减，又有下界 0，所以 \(x_n\) 收敛。
注意到 \(x_{n+1} = \frac{a}{n+1}x_n\)，且这三项的极限都存在。使用有理运算法则：\(\lim x_{n+1} = 0 \lim x_n\)。所以极限为 0。
\(a = 0\) 时显然。
\(a < 0\) 时我们有 \(-\frac{|a|^n}{n!} \le \frac{a^n}{n!} \le \frac{|a|^n}{n!}\)，运用夹逼定理可知。
综上：\(\lim \frac{a^n}{n!} = 0\)。
2
证明 \(x_1 = \sqrt 3, x_n = \sqrt{3 + x_{n-1}}\) 有极限，求这个极限。
我们知道 \(x_1 < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。若 \(x_i < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)，则 \(x_{i+1} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。由数学归纳法得到 \(x_n < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。
又因为 \(\sqrt{3 + x_n} - x_n = \frac{3 + x_n - x_n^2}{\sqrt{3 + x_n} + x_n} > 0\)，所以 \(x_n\) 单调增。
所以 \(x_n\) 有极限。\((\lim x_n)^2 = 3 + \lim x_{n-1}\)，所以 \(\lim x_n = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)。
3
证明 \(x_n = \prod_{i=1}^n \frac{2i-1}{2i}\) 收敛，求其极限。
显然单调减有下界0。但是，此时，\(x_n = \frac{2n-1}{2n} x_{n-1}\)，无法使用有理运算法则。
不妨考虑 \(y_n = \prod_{i=1}^n \frac{2i}{2i+1}\)，注意到 \(x_n < y_n\)，\(0 < x_n^2 < x_ny_n = \frac{1}{2_n + 1}\)。
所以 \((\lim x_n)^2 = \lim x_n^2 = 0\)，即 \(\lim x_n = 0\)。
4
证明 \(x_1 = 1, x_n = 1 + \frac{1}{1 + x_{n-1}}\) 收敛，并求其极限。
注意到当 \(x_i < \sqrt 2\) 时，\(x_{i +1} > \sqrt2\)，反之，\(x_i > \sqrt 2\) 时，\(x_{i +1} < \sqrt2\)。所以考虑 \(x_n\) 的两个子列 \(\{x_{2n}\}, \{x_{2n - 1}\}\)：
\[ \begin{aligned} x_{2n} &> \sqrt 2\\ x_{2n} &= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + x_{2n-2}}} = \frac{4 + 3x_{2n-2}}{3 + 2x_{2n-2}}\\ \frac{x_{2n}}{x_{2n-2}} &= \frac{3 + \frac{4}{x_{2n-2}}}{3 + 2x_{2n-2}} < 1\\ x_{2n} &< x_{2n-2} \end{aligned} \]
同理可得 \(x_{2n+1} > x_{2n-1}\)。则两个子列都有极限。
最后解 \(\lim x_{2n} = \frac{4 + 3 \lim x_{2n-2}}{3 + 2\lim x_{2n-2}}\)，得到 \(\lim x_{2n} = \sqrt 2\)。同理，\(\lim x_{2n-1} = \sqrt 2\)。
根据归并原理，\(\lim x_n = \sqrt 2\)。
5
若 \(x_n\) 单调增，\(y_n\) 单调减，且 \(\lim (x_n - y_n) = 0\)。
则 \(\exists N \in \mathbb N_+\) 使得 \(\forall n > N, x_n - y_n \le 1\)，\(x_n \le y_n + 1 \le y_1 + 1\)。则 \(x_n\) 单调增有上界。所以 \(x_n\) 有极限。
然后使用有理运算法则：\(\lim y_n = \lim x_n - \lim(x_n - y_n) = \lim x_n\)。
函数的极限
概念
自变量趋向无穷大时函数的极限
如果 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists M \in \mathbb R_+\)，使得 \(\forall x > M, |f(x) - v| < \epsilon\)，则我们说：
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = v \]
同理，若 \(\forall x < -M, |f(x) - v| < \epsilon\)，则：
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = v \]
将两者统一，即 \(\forall |x| > M，|f(x) - v| < \epsilon\)，我们称：
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = v \]
水平渐近线
如果 \(\lim_{x \to \infty}f(x) = c\)，称 \(y=c\) 为函数 \(f(x)\) 的水平渐近线。
自变量趋向有限值时函数的极限
如果 \(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\)，使得 \(x \in \mathring{U}_\delta(x_0) \cap D(f)\) 时，\(f(x) \in U_\epsilon(v)\)，则称：
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = v \]
其中 \(D(f)\) 为 \(f\) 定义域。
这个很重要！比如 \(f(x) = \sqrt x\)，\(\sqrt x - \sqrt{x_0} = \left|\frac{x - x_0}{\sqrt x + \sqrt{x_0}}\right| \le \left|\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\right|\)。
如果我们此时草率地取 \(\delta = \epsilon\sqrt{x_0}\)，就有可能出现 \(x_0 - \delta < 0\) 导致未定义的情况。
正确的做法是取 \(\delta = \min(\epsilon \sqrt{x_0}, x_0)\)。
注意到我们使用了 \(\mathring{U}\) 去心邻域符号，说明 \(x_0\) 处的极限值和 \(x_0\) 处的实际值是无关的。即使 \(f(x_0)\) 未定义也没关系。