数学分析1-4
审敛原则
归并原理
子数列
在数列 \(\{x_n\}\) 中抽取可数无穷多项并保持相对关系，构成的新数列被称为 \(\{x_n\}\) 的一个子列。
即：子列 \(y_n = x_{p_n}\)，\(\forall i \in \mathbb Z_+\) 有 \(p_i < p_{i + 1}, p_i \in \mathbb Z_+\)。
显然，\(p_i \ge i\)。
性质
收敛数列的任意子列收敛，且子数列的极限值与原数列相同。
证明简单，\(\forall \epsilon>0\)，若 \(n > N\) 时 \(x_n \in U_\epsilon(x)\)，因为 \(p_N \ge N\)，所以 \(x_{p_n} \in U_{\epsilon}(x)\)，即 \(y_n \in U_{\epsilon}(x)\)，说明 \(y_n\) 也收敛。
这个证明还说明，子列收敛速度不会慢于原数列。
在数列 \(\{x_n\}\) 中抽取可数无穷多项并保持相对关系，构成的新数列被称为 \(\{x_n\}\) 的一个子列。
即：子列 \(y_n = x_{p_n}\)，\(\forall i \in \mathbb Z_+\) 有 \(p_i < p_{i + 1}, p_i \in \mathbb Z_+\)。
显然，\(p_i \ge i\)。
性质
收敛数列的任意子列收敛，且子数列的极限值与原数列相同。
证明简单，\(\forall \epsilon>0\)，若 \(n > N\) 时 \(x_n \in U_\epsilon(x)\)，因为 \(p_N \ge N\)，所以 \(x_{p_n} \in U_{\epsilon}(x)\)，即 \(y_n \in U_{\epsilon}(x)\)，说明 \(y_n\) 也收敛。
这个证明还说明，子列收敛速度不会慢于原数列。
逆否
如果存在某个发散子列，则原数列必然发散。
如果两个子列收敛到不同的值，则原数列必然发散。如 \(x_n = (-1)^n\)。
推论
- 对数列增删有限项，不影响原数列极限的存在性，也不影响极限值。 因为有限项必然有最后一项，只要让原来的 \(N\) 和这个最后一项取 \(\max\) 就没有影响。
- 如果一个数列的奇数项和偶数项组成的两个子列收敛于同一个值，则原数列收敛。 可以从定义直接证明。（三分四分也可以）
闭区间套定理
如果闭区间列 \(\{[a_n, b_n]\}\) 满足 \(\forall n \in \mathbb Z_+\)，有 \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]\)，且 \(\lim (b_n - a_n) = 0\)，则称 \(\{[a_n, b_n]\}\) 为闭区间套或区间套。
闭区间套定理在说，对于一个闭区间套，存在唯一实数 \(\xi\) 满足 \(\forall n \in \mathbb Z_+, \xi \in [a_n, b_n]\)。
证明：显然 \(a_n\) 单调增且有上界 \(b_1\)，所以 \(a_n\) 有极限，不妨记作 \(\xi\)。
同理，\(b_n\) 也有极限，且 \(\lim b_n = \lim a_n + \lim(b_n - a_n) = \xi\)。
单调有界原理的证明中已经说明 \(\xi\) 是 \(a_n\) 上确界，\(b_n\) 下确界，所以 \(\xi \in [a_n,b_n]\)。
最后若还有 \(\xi' \in [a_n, b_n]\)，我们有 \(0 \le |\xi - \xi'| \le b_n - a_n\)，由夹逼定理得到 \(\xi = \xi'\)。说明 \(\xi\) 唯一。
weierstrass 定理
有界实数列必然有收敛的子列。
证明：假设数列的界是 \([a_1, b_1]\)。对区间 \([a_i, b_i]\)，取 \(m_i = \frac{a_i + b_i}{2}\)，则在 \([a_i, m_i]\) 和 \([m_i, b_i]\) 中必有一个区间包含了原数列的无穷多项（可以反证）。将那个区间记为 \([a_{i+1}, b_{i+1}]\)。
这样，构成的所有 \([a_i, b_i]\)，满足 \([a_{i + 1}, b_{i + 1}] \subset [a_i, b_i]\)，且区间长度每次减半收敛至 0，构成一个闭区间套。那么必恰有一个 \(\xi\) 在所有区间中。
接下来，构造 \(y_i\) 为 \([a_i, b_i]\) 中包含的某个原数列元素，且它的下标比 \(y_1,...,y_{i-1}\) 对应的下标都要大。因为每个区间都包含了原数列无穷多项，所以总能找到这样的 \(y_i\)。
则有 \(a_i \le y_i \le b_i\)，\(\{y_n\}\) 为 \(\{x_n\}\) 的子列。
最后，运用夹逼定理，得到 \(\lim y_n = \xi\)。
我们将数列的某一子列的极限称为收敛点。 weierstrass 定理就是说，有界实数列必然有收敛点。
Cauchy 数列
如果 \(\{a_n\}\) 为一个实数列，\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists N \in \mathbb Z_+\)，使得 \(\forall n,m > N\)，恒有 \(|a_n - a_m| < \epsilon\)，则 \(\{a_n\}\) 被称为 Cauchy 数列。
一个数列收敛的充要条件是它为 Cauchy 数列。
必要性
较为容易。对于 \(\epsilon > 0\)，我们取使得 \(x_n \in U_{\frac{\epsilon}{2}}(x)\) 的 \(N\)，自然有 \(|x_n - x_m| < \epsilon\)，因为他们都在长度为 \(\epsilon\) 的开区间里。
充分性
取 \(\epsilon = 1\)，当 \(n > N_\epsilon\) 时，\(x_n\) 有界；前 \(N\) 项必然有界（有限项有界）。所以 Cauchy 数列必然有界。这样它必有一个收敛点。不妨记作 \(\xi\)。下面证明收敛性：
\(\forall \epsilon > 0\)，取 \(N_0\) 使得对于 \(n > N_0\)，收敛子列 \(y_n \in U_{\frac{\epsilon}{2}}(\xi)\)。
接下来取 \(N_1\) 使得对于 \(n,m > N_1\)，\(|x_n - x_m| < \frac{\epsilon}{2}\)。
这样由于子列有无穷项，必然存在 \(k > \max(N_0, N_1)\)，使得 \(x_k\) 在子列 \(y\) 中，则 \(x_k \in U_{\frac{\epsilon}{2}}(\xi)\)。
所以 \(\forall n > \max(N_0, N_1)\)，\(|x_n - x_k| < \frac{\epsilon}{2}\) 且 \(|x_k - \xi| < \frac{\epsilon}{2}\)，所以 \(|x_n - \xi| < \epsilon\)。即 \(\{x_n\}\) 收敛。
否命题
既然是充要条件，Cauchy 数列也可以用来判断发散。