数学分析1-4

发表于 2024-09-14 阅读次数： 16

审敛原则

归并原理

子数列

在数列 ${x_{n}}$ 中抽取可数无穷多项并保持相对关系，构成的新数列被称为 ${x_{n}}$ 的一个子列。

即：子列 $y_{n} = x_{p_{n}}$ ， $\forall i \in Z_{+}$ 有 $p_{i} < p_{i + 1}, p_{i} \in Z_{+}$ 。

显然， $p_{i} \geq i$ 。

性质

收敛数列的任意子列收敛，且子数列的极限值与原数列相同。

证明简单， $\forall ϵ > 0$ ，若 $n > N$ 时 $x_{n} \in U_{ϵ} (x)$ ，因为 $p_{N} \geq N$ ，所以 $x_{p_{n}} \in U_{ϵ} (x)$ ，即 $y_{n} \in U_{ϵ} (x)$ ，说明 $y_{n}$ 也收敛。

这个证明还说明，子列收敛速度不会慢于原数列。

在数列 ${x_{n}}$ 中抽取可数无穷多项并保持相对关系，构成的新数列被称为 ${x_{n}}$ 的一个子列。

即：子列 $y_{n} = x_{p_{n}}$ ， $\forall i \in Z_{+}$ 有 $p_{i} < p_{i + 1}, p_{i} \in Z_{+}$ 。

显然， $p_{i} \geq i$ 。

性质

收敛数列的任意子列收敛，且子数列的极限值与原数列相同。

证明简单， $\forall ϵ > 0$ ，若 $n > N$ 时 $x_{n} \in U_{ϵ} (x)$ ，因为 $p_{N} \geq N$ ，所以 $x_{p_{n}} \in U_{ϵ} (x)$ ，即 $y_{n} \in U_{ϵ} (x)$ ，说明 $y_{n}$ 也收敛。

这个证明还说明，子列收敛速度不会慢于原数列。

逆否

如果存在某个发散子列，则原数列必然发散。

如果两个子列收敛到不同的值，则原数列必然发散。如 $x_{n} = (- 1)^{n}$ 。

推论

对数列增删有限项，不影响原数列极限的存在性，也不影响极限值。因为有限项必然有最后一项，只要让原来的 $N$ 和这个最后一项取 $max$ 就没有影响。
如果一个数列的奇数项和偶数项组成的两个子列收敛于同一个值，则原数列收敛。可以从定义直接证明。（三分四分也可以）

闭区间套定理

如果闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 满足 $\forall n \in Z_{+}$ ，有 $[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_{n}, b_{n}]$ ，且 $lim (b_{n} - a_{n}) = 0$ ，则称 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 为闭区间套或区间套。

闭区间套定理在说，对于一个闭区间套，存在唯一实数 $ξ$ 满足 $\forall n \in Z_{+}, ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ 。

证明：显然 $a_{n}$ 单调增且有上界 $b_{1}$ ，所以 $a_{n}$ 有极限，不妨记作 $ξ$ 。

同理， $b_{n}$ 也有极限，且 $lim b_{n} = lim a_{n} + lim (b_{n} - a_{n}) = ξ$ 。

单调有界原理的证明中已经说明 $ξ$ 是 $a_{n}$ 上确界， $b_{n}$ 下确界，所以 $ξ \in [a_{n}, b_{n}]$ 。

最后若还有 $ξ^{'} \in [a_{n}, b_{n}]$ ，我们有 $0 \leq | ξ - ξ^{'} | \leq b_{n} - a_{n}$ ，由夹逼定理得到 $ξ = ξ^{'}$ 。说明 $ξ$ 唯一。

weierstrass 定理

有界实数列必然有收敛的子列。

证明：假设数列的界是 $[a_{1}, b_{1}]$ 。对区间 $[a_{i}, b_{i}]$ ，取 $m_{i} = \frac{a_{i} + b_{i}}{2}$ ，则在 $[a_{i}, m_{i}]$ 和 $[m_{i}, b_{i}]$ 中必有一个区间包含了原数列的无穷多项（可以反证）。将那个区间记为 $[a_{i + 1}, b_{i + 1}]$ 。

这样，构成的所有 $[a_{i}, b_{i}]$ ，满足 $[a_{i + 1}, b_{i + 1}] \subset [a_{i}, b_{i}]$ ，且区间长度每次减半收敛至 0，构成一个闭区间套。那么必恰有一个 $ξ$ 在所有区间中。

接下来，构造 $y_{i}$ 为 $[a_{i}, b_{i}]$ 中包含的某个原数列元素，且它的下标比 $y_{1}, . . ., y_{i - 1}$ 对应的下标都要大。因为每个区间都包含了原数列无穷多项，所以总能找到这样的 $y_{i}$ 。

则有 $a_{i} \leq y_{i} \leq b_{i}$ ， ${y_{n}}$ 为 ${x_{n}}$ 的子列。

最后，运用夹逼定理，得到 $lim y_{n} = ξ$ 。

我们将数列的某一子列的极限称为收敛点。 weierstrass 定理就是说，有界实数列必然有收敛点。

Cauchy 数列

如果 ${a_{n}}$ 为一个实数列， $\forall ϵ > 0$ ， $\exists N \in Z_{+}$ ，使得 $\forall n, m > N$ ，恒有 $| a_{n} - a_{m} | < ϵ$ ，则 ${a_{n}}$ 被称为 Cauchy 数列。

一个数列收敛的充要条件是它为 Cauchy 数列。

必要性

较为容易。对于 $ϵ > 0$ ，我们取使得 $x_{n} \in U_{\frac{ϵ}{2}} (x)$ 的 $N$ ，自然有 $| x_{n} - x_{m} | < ϵ$ ，因为他们都在长度为 $ϵ$ 的开区间里。

充分性

取 $ϵ = 1$ ，当 $n > N_{ϵ}$ 时， $x_{n}$ 有界；前 $N$ 项必然有界（有限项有界）。所以 Cauchy 数列必然有界。这样它必有一个收敛点。不妨记作 $ξ$ 。下面证明收敛性：

$\forall ϵ > 0$ ，取 $N_{0}$ 使得对于 $n > N_{0}$ ，收敛子列 $y_{n} \in U_{\frac{ϵ}{2}} (ξ)$ 。

接下来取 $N_{1}$ 使得对于 $n, m > N_{1}$ ， $| x_{n} - x_{m} | < \frac{ϵ}{2}$ 。

这样由于子列有无穷项，必然存在 $k > max (N_{0}, N_{1})$ ，使得 $x_{k}$ 在子列 $y$ 中，则 $x_{k} \in U_{\frac{ϵ}{2}} (ξ)$ 。

所以 $\forall n > max (N_{0}, N_{1})$ ， $| x_{n} - x_{k} | < \frac{ϵ}{2}$ 且 $| x_{k} - ξ | < \frac{ϵ}{2}$ ，所以 $| x_{n} - ξ | < ϵ$ 。即 ${x_{n}}$ 收敛。

否命题

既然是充要条件，Cauchy 数列也可以用来判断发散。