数学分析1-3
数列与极限
性质
（补）有理运算法则的证明
以加减为例：
\(\forall \epsilon > 0\)，取使得 \(|a_n - a| < \frac{2}{\epsilon},|b_n - b| < \frac{2}{\epsilon}\) 的 \(N_a, N_b\)，则 \(n > \max(N_a ,N_b)\) 时，\(|a_n \pm b_n - (a \pm b)| \ge |a_n - a| + |b_n - b| < \epsilon\)，即 \(\lim a_n \pm b_n = a\pm b\)。
乘法取 \(\sqrt \epsilon\) 即可。
只能推广到有限个极限。
保号性
若 \(\lim a_n = a \ne 0\)，则 \(\exists N \in \mathbb N_+\)，使得 \(\forall n > N, a_n\cdot a > 0\)。
这个比较显，就是概念。
保序性
若 \(\exists N \in \mathbb N_+, \forall n > N, a_n\le b_n\) 且 \(\lim a_n = a, \lim b_n = b\)，则 \(a \le b\)。
证明也简单，显然 \(\lim b_n - a_n = b-a\)，再由保号性得到 \((b_n - a_n)(b-a) \ge 0\)，所以 \(b \ge a\)。注意保号性没有 0 的情况，需要特殊处理。
夹逼性
若 \(\exists N \in \mathbb N_+, \forall n > N, a_n\le b_n \le c_n\)，且 \(\lim a_n = \lim c_n\)，则 \(\lim a_n = \lim b_n = \lim c_n\)。
运用两次保序性自然得到。
例题
6
\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\sqrt n (\sqrt n - \sqrt{n + 1}) &= \lim \frac{\sqrt n}{\sqrt n + \sqrt{n + 1}}\\ &= \lim \frac{1}{\sqrt{\frac 1n + 1} + 1} \\ &= 2 \end{aligned} \]
7
\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{2n^3 + 1} &= \frac{(1 + \frac 1n)(1 + \frac 2n)(1 + \frac 3n)}{2 + \frac{1}{n^3}}\\ &= \frac 12 \end{aligned} \]
8
\[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}(a > 0)\\ a > 1:&\\ &\sqrt[n]{a} = 1 + h_n(h_n > 0)\\ &a=(1 + h_n)^n \ge 1 + nh_n\\ &h_n \le\frac{a-1}{n}\\ &\lim h_n = 0\\ &\lim \sqrt[n]{a} = 1\\ a < 1:&\\ &\lim \sqrt[n]{\frac 1a} = 1\\ &\lim \sqrt[n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{\frac 1a}} = 1 \end{aligned} \]
收敛准则
单调有界准则
如果数列 \(\{a_n\}\) 单调增（减）有上（下）界，则 \(a_n\) 必然收敛。
在实数域上，根据实数确界原理，\(\{a_n\}\) 所构成集合必有上确界 \(a\)。
则 \(\forall \epsilon > 0\)，存在 \(a_x \in (a - \epsilon, a]\)。
又因为单调增，\(\forall n \ge x, a_n \in (a - \epsilon, a]\)。
立刻得到 \(\lim a_n = a\)。
同理可证单调减。
e
“一个重要极限”
\(e.g.\) 证明 \((1 + \frac 1n)^n\) 收敛：
\[ \begin{aligned} (1 + \frac 1n)^n &= 1 + n\frac 1n + \binom{n}{2}\frac{1}{n^2} + ... + \frac{1}{n^n}\\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac 1n) + \frac{1}{3!}(1 -\frac 1n)(1 - \frac 2n) + ... + \frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{i}{n}\right) \\ & < 1 + 1 + ... + \frac{1}{n!}\prod\left(1 - \frac{i}{n+1}\right) \\ & < (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \end{aligned} \]
即单调。
注意到：
\[ \begin{aligned} (1 + \frac 1n)^n &= 1 + n\frac 1n + \binom{n}{2}\frac{1}{n^2} + ... + \frac{1}{n^n}\\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac 1n) + \frac{1}{3!}(1 -\frac 1n)(1 - \frac 2n) + ... + \frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{i}{n}\right) \\ & < 1 + 1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2\times 3} + ... + \frac{1}{(n-1)n} \\ & < 3 \end{aligned} \]
即有界。
所以 \((1 + \frac 1n)^n\) 收敛。我们记 \(\lim (1 + \frac 1n)^n = e\)。
等价性定义
\(e\) 的值有多种等价的表述。一种是定义 \(\exp(x)\) 为导数等于自身并且 \(\exp(0)=1\) 的函数，再定义 \(e = \exp(1)\)；另一种是定义 \(\int_1^e \frac{\mathrm dx}{x}=1\)。这些定义等学到导数、积分时再描述。这里阐述一个级数定义：
\[ e = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{i!} \]
这实际是 \(\exp\) 在 1 处的泰勒展开。
我们希望证明，上述两种定义是等价的，即：
\[ \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac 1n\right)^n = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!} = e \]
我们已经知道：
\[ \left(1 + \frac 1n\right)^n = \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}\frac{n!}{(n-i)!}\frac{1}{n^i} \le \sum_{i = 0}^n \frac{1}{i!} \]
另一方面，对于任意有限 \(m\)，当 \(n\ge m\) 时，有：
\[ \left(1 + \frac 1n\right)^n \ge \sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\frac{n!}{(n-i)!}\frac{1}{n^i} \]
令 \(n \to \infty\)，则：
\[ e \ge \sum_{i=0}^m\frac{1}{i!} \]
综合来说，我们有：
\[ \left(1 + \frac 1n\right)^n \le \sum_{i = 0}^n \frac{1}{i!} \le e \]
左右两端趋向同一极限 \(e\)，由夹逼性质，得到：
\[ \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac 1n\right)^n = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!} = e \]
无理性证明
假设 \(e = \frac{p}{q}\)，即：
\[ \begin{aligned} \frac{p}{q} &= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\\ p(q-1)!&= \sum_{i=0}^q \frac{q!}{i!} + q!\sum_{i=q + 1}^{\infty}\frac{1}{i!}\\ &\le\sum_{i=0}^q \frac{q!}{i!} + \sum_{i=q + 1}^{\infty}\frac{1}{i(i+1)}\\ &\le \sum_{i=0}^q \frac{q!}{i!} + \frac{1}{q+1} \end{aligned} \]
然后发现前面的 \(q+1\) 项都是整数，但是后面的余项是小于 \(\frac{1}{q+1}\) 的小数。难道说 \(p(q-1)!\) 是小数吗？显然矛盾。因此 \(e\) 一定是无理数。