数学分析1-2

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实数完备性与确界存在定理

有理数

一切形如 \(\frac qp(p \in \mathbb Z, q \in \mathbb N _+)\) 的数叫有理数

有如下性质：

  1. 对有理运算封闭
  2. 有序
  3. 稠密
  4. 不完备

实数

实数弥补了有理数不完备的缺陷，即：实数集与坐标轴上的点一一对应。

集合的有界性

有界

  • 上有界：\(\exists L \in \mathbb R, s.t. \forall x \in A, x \le L\)
  • 下有界：\(\exists L \in \mathbb R, s.t. \forall x \in A, x \ge L\)
  • 有界：同时有上下界，即 \(\exists M > 0, s.t. \forall x \in A, |x| \ge M\)

确界

  • 上确界：设 \(A \subseteq \mathbb R, A \ne \emptyset\)，若存在 \(s \in \mathbb R\)，满足：

    1. \(\forall x \in A, x \le s\)
    2. \(\forall \epsilon > 0, \exists x_0 \in A, x_0 > s\)

    被记为 \(\sup A = s\)

  • 下确界：仿照上确界，记作 \(\inf A\)

  • 上确界是最小上界，下确界是最大下界。

  • 上下确界是唯一的。（可以反证，若有 \(s_1 \ne s_2\)，则 \(\frac{s_1 + s_2}{2}\) 构成矛盾）

  • 上下确界可以不在数集中。

确界存在定理

任何有上界的非空实数集，一定有上确界，且其上确界仍是实数。

对下确界依然成立。但在有理数集上不成立。这也是刻画实数集完备性的定理。

映射与函数

映射

设 \(A,B\) 非空，若 \(\forall x \in A,\exists y \in B\) 与 \(x\) 按照某种规则 \(f\) 与之对应，则称 \(f\) 为 \(A\) 到 \(B\) 的一个映射。

记为 \(f: A \to B\) 或 \(f : x\mapsto y, x \in A, y \in B\)

映射也被称为算子。若 \(B\) 是数集，也被叫做泛函。

\(A\) 中元素被称为原象，\(A\) 为定义域；\(B\) 中元素被称为象，\(B\) 为值域。

函数

定义域和值域都为数集的映射叫做函数。

高等数学是研究函数的数学。

定义域?

使得函数表达式有意义的一切（实数？）。

基本初等函数

初等函数是可以用一个表达式表示的函数。

  1. 常函数
  2. 幂函数
  3. 指数函数
  4. 对数函数
  5. 三角函数
  6. 反三角函数

（函数 \(f\) 图像被记作 \(Gr\{f\}\)）

分段函数

分段函数也可能是初等函数。

如：

\[ y = \left \{ \begin{aligned} &x,& x<1\\ &2-x,&x \ge 1 \end{aligned}\right . = 1 - |1-x| \]

特殊函数

  1. 符号函数 \(\operatorname{sgn}\)
  2. 高斯函数 \(\operatorname{floor}(x) = \lfloor x\rfloor\)
  3. 狄利克雷函数 \(\operatorname{Dirichlet}(x) = \left\{\begin{aligned}&1,&x \in \mathbb Q\\&0,& x \notin \mathbb Q \end{aligned}\right.\)
  4. 最值函数 \(\max,\min\)
  5. 线性函数 \(y=kx+b\)

复合函数

\(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\)

反函数

如果函数 \(f\) 可逆，则将其反函数记作 \(f^{-1}\)，满足：\(f^{-1}(f(x))=x\)。

如果 \(f\) 不是单调的，整体上没有反函数，但是可以分成单调分支，在每个分支上求反函数。

另外 \(f\circ f^{-1}\) 与 \(f^{-1}\circ f\) 可能不是同一函数，因为定义域不同。

双曲函数

考虑欧拉定理：

\[ \sin(x) = \frac{e^{\mathrm ix} - e^{-\mathrm i x}}{2\mathrm i},\cos(x) = \frac{e^{\mathrm ix} + e^{-\mathrm ix}}{2} \]

我们去掉所有虚数单位，得到双曲函数：

\[ \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

同样可以定义双曲正切等：\(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)

双曲函数有一些和三角函数很像的性质：

\[ \begin{aligned} \sinh(x \pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\ \cosh(x \pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\\ \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1\\ \sinh 2x &= 2 \sinh x \cosh x\\ \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x\\ \end{aligned} \]

同样，他们也有对应的反函数。

\[ \begin{aligned} \operatorname{arsh} x &= \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)\\ \operatorname{arch} x &= \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)\\ \operatorname{arth} x &= \frac 12 \ln \frac{1+x}{1-x} \end{aligned} \]

数列与极限

数列

高等数学中研究的数列都是无穷数列。

对于函数 \(f\) 在 \(\mathbb Z_+\) 上的每处取值 \(a_n = f(n)\)，按照正整数的顺序排列出来，得到的 \(a_1,a_2,...,a_n...\) 称为一个数列，记作 \(\{a_n\}\)。\(a_n\) 为该数列的通项。

  1. 数列对于数轴上的一个点列。
  2. 数列是一个整标函数：\(x_n = f(n)\)。

极限的概念

“割圆术”

数列的极限

观察到 \(n\) 无限增大时，\(x_n= 1 + \frac{(-1)^n}{n}\) 无限接近于 1。

怎么精确定义？

使用和 \(\sup\) 相似的思想：

如果 \(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb Z, s.t. \forall n > N, |x_n- v| < \epsilon\)，则称数列 \(x_n\) 的极限为 \(v\)。

记作 \(\lim\limits_{n \to +\infty} = v\) 或当 \(n \to + \infty\)，\(x_n \to v\)。

如果数列没有极限，我们称数列为发散的。

几何解释

对于 \(v\) 的任意小邻域，\(x_n\) 对应的点列最终都会落到邻域内部。

例题

太简单了，略

收敛的性质

  1. 唯一性。可用反证法：假设有两个极限 \(a_1, a_2\)，取 \(\epsilon=\frac{|a_1-a_2|}{2}\)，当 \(n > \max\{N_1, N_2\}\) 时，\(a_n\) 同时大于和小于 \(\frac{a_1 + a_2}{2}\)，矛盾。
  2. 收敛的数列必定有界。 证明：有限项必然有界；一定存在 \(N\)，使得 \(\forall n > N, a_n \in (v - 1, v + 1)\)，则 \(N\) 前 \(N\) 后都有界。 反过来不成立。但是无界数列必不收敛。
  3. 有理运算法则：如果 \(\lim a_n, \lim b_n\) 都存在，那么 \(\lim a_n+b_n=\lim a_n + \lim b_n\)，\(\lim a_n-b_n=\lim a_n - \lim b_n\), \(\lim a_n\times b_n=\lim a_n \times \lim b_n\)，\(\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{\lim b_n}\)。