线性代数1-1

发表于 2024-09-10 阅读次数：

一元二次方程组

\[ \left \{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 &= b_2 \\ \end{aligned}\right. \]

消元后得到：

\[ \left \{ \begin{aligned} (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1 &= b_1a_{22} - b_2a_{12} \\ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2 &= a_{11}b_2 - a_{21}b_1 \\ \end{aligned}\right. \]

容易发现 $x_1, x_2$ 前的系数一致。定义二元一次方程组的行列式如下：

\[ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right |\equiv a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]

有趣的是，等号右边也是行列式的形式，所以有：

\[ \left \{ \begin{aligned} x_1 &= \frac{\left | \begin{matrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{matrix} \right |}{\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right |} \\ x_2 &= \frac{\left | \begin{matrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{matrix} \right |}{\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right |} \\ \end{aligned}\right. \]

更高阶的行列式

下面定义：$M_{ij}$ 为去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后的行列式。称为 $a_{ij}$ 的余子式。$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为 $a_{ij}$ 的代数余子式。

我们有：

\[ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | \equiv \sum_{k=1}^{n}a_{1k}A_{1k} = \sum_{k=1}^{n}a_{1k}(-1)^{k+1}M_{1k} \]

这种定义称为行列式按第一行展开，或称按第一行 Laplace 展开。

特殊的行列式

对于主对角线上方为空的矩阵，其行列式为主对角线元素乘积。

证明：可用归纳法。按照第一行展开，只有一项，即 $D = a_{11}(-1)^{1+1}M_{11}$，就递归到了更小的矩阵。边界略过不谈。

同理可证：主对角线下方为空行列式也为主对角线元素乘积（按照最后一行展开）；副对角线一侧为空的行列式为 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 倍的副对角线元素乘积。

行列式的性质

转置行列式与原行列式相等。也即对行成立的性质对列成立（如展开）
互换相邻两行的位置，行列式的值会改变正负号。这个证明非常简单，按照这两行展开时，余子式没有任何变化，但是这两行的位置变了，所以代数余子式的系数要乘 -1。
行列式可以按照任意一行展开
交换 $i,j$ 两行，行列式乘以 $(-1)^{i-j}$。这可以连续使用 2. 中的交换得到。
将行列式看作 $n$ 个向量的函数 $f(v_1,v_2,...,v_n)$，行列式对于向量是线性的。即：$f(kv_1 + u,v_2,...,v_n) = kf(v_1,v_2,...,v_n) + f(u,v_2,...,v_n)$。
如果有某个向量可以被其他向量线性表出，则行列式为 0。证明不难，先由 2. 得到相邻的相等向量带来 0 行列式；再从 4. 知道任意两个相等也带来 0 行列式。最后再由 5. 得到向量之间的线性加减不会改变行列式。
由 5. 和 6. 直接有：向量之间线性改变不会改变行列式（即加减其他向量的倍数，但不可加减自己的倍数）。
错误展开：如果将某一行的元素与另一行的代数余子式对应相乘相加，结果一定是 0。这个证明也不难想：假设我们用 $a_{i\cdot}$ 和 $A_{j\cdot}$ 展开，其实是相当于把第 $j$ 行变成与第 $i$ 行相同，再按第 $j$ 行展开。这样由 6. 立马得到行列式为 0。

POV

上面讲的东西都是 shit。

快速回顾一些基本知识：矩阵（左乘）表示了线性空间内的线性变换。对于方阵来说，考察线性变换的最好办法是考察它的基在变换前后的变化。矩阵的第 $i$ 个列向量表示了第 $i$ 个基在变换后会去哪里。

线性变换实质上将空间进行旋转、压缩和拉伸，一个迷人的问题就是，它是否改变了空间的“密度”？或者说，原来空间中的一块区域在变换后是多大？

行列式解决了这个问题。对于 $n$ 个 $\mathbb R^n$ 内的向量，它们组成的矩阵的行列式标记了它们构成的“平行超体”的体积（如二维的平行四边形，三位的平行六面体）。

你想，在原来的空间中，基对应的平行超体体积是单位 1。而变换后的新基的体积（在原空间中）是行列式，那么行列式显然代表了体积的变化率。也即空间被伸缩了多少。

另一方面，行列式实际是带符号的。这代表了基向量的空间位置是否发生了变换（参考三维中的手性）。高维不止两个手性，就设偶数次变化为正，奇数次变化为负。

这样，$|A||B|=|AB|$ 就不证自明。

如果行列式为 0,说明什么？说明空间被压缩到了一个更低维的空间，也即：

存在一个基可被其它基线性表示
零空间维度不为 0
无法把低维的内容重新反推到高维（不可逆）

而线性方程组其实就是对变换后空间的向量找一个变换前的向量。所以行列式不为 0 是方程组有解的充要条件。

为什么行列式会是消元后的系数？

这被称为 Cramer 规则。有一个简短的证明如下：

设 $ A x= b$，其中 $ A = [{v_1,v_2,...,v_n}]$。记 $A_i$ 为用 $b$ 代替 $v_i$ 的结果。

以 $x_1$ 为例：

\[ x_1 = \left | \begin{matrix} x_1\\ x_2 & 1\\ x_3 & & 1\\ ...& & & ...\\ x_n & & & & 1 \end{matrix}\right | = \left|A^{-1}A_1\right| = \frac{|A_1|}{|A|} \]