傅里叶变换的性质
这不是第一百篇文章。
线性
\[ \mathcal F\{af+bg\} = a\mathcal F\{f\} + b\mathcal F\{g\} \]
位移与相移
定义 \(\tau_tf(x) = f(x - t)\)：
\[ \begin{aligned} \mathcal F\{\tau_tf\}(k) &= \exp(-2\pi\mathrm i tk)\mathcal F\{f\}(k)\\ \mathcal F\{\exp(2\pi\mathrm itx)f\} &= \tau_t\mathcal F\{f\} \end{aligned} \]
放缩性质
\[ \mathcal F\{f(ax)\} = \left |\frac{1}{a}\right |\mathcal F\{f\}(ak) \]
特别的，当 \(a=-1\) 时得到反射性质：\(\mathcal F\{f(-x)\} = \mathcal F\{f\}(-k)\)。
对称性
将 \(f\) 与 \(\mathcal F\{f\}\) 分成按照实部与虚部、奇函数与偶函数分成四部分：\(RO\) 实奇，\(RE\) 实偶，\(IO\) 虚奇，\(IE\) 虚偶。对应关系如下：
\[ \begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned} \]
每一个部分其实都好理解。你可以只考虑 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的特殊情况。
这样还可以得到共轭性质：
\[ \mathcal F\{f(x)^*\} = \mathcal F\{f\}(-k)^* \]
也可以像欧拉公式一样提取实部与虚部：
\[ \begin{aligned} \mathcal F\{\operatorname{Real}(f)\} &= \frac 12(\mathcal F\{f\} + \mathcal F\{f^*\})\\ \mathcal F\{\operatorname{Imag}(f)\} &= \frac {1}{2\mathrm i}(\mathcal F\{f\} - \mathcal F\{f^*\})\\ \end{aligned} \]
求导
\[ \mathcal F\{f^{(n)}\} = (\mathrm i2 \pi k)^n\mathcal F\{f\} \]
卷积定理
\[ \mathcal F\{f*g\} = \mathcal F\{f\}\mathcal F\{g\} \]
关于高斯函数的奇妙性质
记 \(\mathcal F\{\Phi\} = F\)。
\[ \begin{aligned} F(k) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} e^{-\mathrm i k x} \mathrm dx\\ \frac{\partial F(k)}{\partial k} &= \frac{\mathrm i}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} -2xe^{-x^2} e^{-\mathrm i k x} \mathrm dx\\ &= \frac{\mathrm i}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm d\left(e^{-x^2}\right) e^{-\mathrm i k x}\\ &= \frac{\mathrm i}{2}\left ( \left. e^{-x^2-\mathrm i k x} \right|_{-\infty}^{+\infty} +\mathrm ik \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-x^2} e^{-\mathrm i k x}\mathrm dx\right)\\ &= -\frac k2 F(k) \\ \Rightarrow F(k) &= Ce^{-\frac{k^2}{4}},F(0) = \sqrt \pi \\ \Rightarrow F(k) &= \sqrt \pi e^{-\frac{k^2}{4}} \end{aligned} \]
即高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数。